Упр.377 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Объясните, почему для любого числа $$a \ge 0$$ верно равенство:

а) $$\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3$$

б) $$\left(a^3\right)^{\frac{1}{3}}$$

в) $$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2$$

г) $$\left(a^2\right)^{\frac{1}{2}}$$

Воспользуемся определением степени с рациональным показателем и свойствами корней. При $$a \ge 0$$ имеем:

а) $$\left(a^{\frac13}\right)^3=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a;$$

б) $$\left(a^3\right)^{\frac13}=\sqrt[3]{a^3}=a;$$

в) $$\left(a^{\frac12}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2=a;$$

г) $$\left(a^2\right)^{\frac12}=\sqrt{a^2}=a,$$
так как при $$a \ge 0$$ имеем $$\sqrt{a^2}=|a|=a.$$

Во всех случаях получаем равенство $$a$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$\left(a^{\frac13}\right)^3=a,\quad \left(a^3\right)^{\frac13}=a,\quad \left(a^{\frac12}\right)^2=a,\quad \left(a^2\right)^{\frac12}=a.$$