Упр.37 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) В арифметической прогрессии {a_n} имеем a_1=-85, а_19 — её первый положительный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?
3) Найдите наименьшее значение выражения 2v(x+y+1)-4+3(x+4y-3)^2.
При каких значениях х и у оно достигается?
4) Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3375 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 2916 р. Первый брокер продал 60% своих акций, а второй — 70%. При этом сумма от продажи акций, полученная первым брокером, в 1 2/7 раза превысила сумму, полученную вторым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Подробный ответ

Если остаток от деления числа $$n$$ на $$9$$ равен $$5$$, то
$$n=9k+5,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Тогда
$$ 4n^2+7n+2=4(9k+5)^2+7(9k+5)+2 $$
$$ =4(81k^2+90k+25)+63k+35+2 $$
$$ =324k^2+423k+137 $$
$$ =9(36k^2+47k+15)+2. $$
Значит, остаток от деления на $$9$$ равен $$2$$.
Пусть разность арифметической прогрессии равна $$d$$. Тогда
$$a_n=a_1+(n-1)d=-85+(n-1)d.$$
Так как $$a_{18}\le 0$$, а $$a_{19}>0$$, получаем:
$$ a_{18}=-85+17d\le 0 \Rightarrow 17d\le 85 \Rightarrow d\le 5, $$
$$ a_{19}=-85+18d>0 \Rightarrow 18d>85 \Rightarrow d>\frac{85}{18}. $$
Следовательно, $$\frac{85}{18}
$$d=5.$$
Рассмотрим выражение
$$2\sqrt{x+y+1}-4+3(x+4y-3)^2.$$
Оба слагаемых, зависящих от $$x$$ и $$y$$, неотрицательны, поэтому минимум достигается при
$$ x+y+1=0,\qquad x+4y-3=0. $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ x+4y=3. \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 3y=4,\qquad y=\frac{4}{3}. $$
Тогда
$$ x=-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}. $$
Минимальное значение:
$$ 2\sqrt{0}-4+3\cdot 0^2=-4. $$
Пусть первый брокер купил акций на сумму $$x$$ рублей, а второй — на сумму $$y$$ рублей. Тогда
$$ x+y=3375. $$
После повышения цены первый продал $$60\%$$ своих акций, второй — $$70\%$$. Если новая цена одной акции равна $$t$$ рублей, то суммы продажи равны:
$$ 0{,}6xt \quad \text{и} \quad 0{,}7yt. $$
По условию первая сумма в $$1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$$ раза больше второй, значит
$$ 0{,}6xt=\frac{9}{7}\cdot 0{,}7yt. $$
Сократим на $$t$$:
$$ 0{,}6x=0{,}9y \Rightarrow 2x=3y \Rightarrow x=1{,}5y. $$
Подставим в сумму:
$$ 1{,}5y+y=3375 \Rightarrow 2{,}5y=3375 \Rightarrow y=1350, $$
$$ x=2025. $$
Теперь используем сумму продажи:
$$ 0{,}6\cdot 2025\cdot t+0{,}7\cdot 1350\cdot t=2916, $$
$$ 1215t+945t=2916, $$
$$ 2160t=2916, $$
$$ t=1{,}35. $$
Изначально цена одной акции была $$1$$ рубль, значит, цена возросла на
$$ \frac{1{,}35-1}{1}\cdot 100\%=35\%. $$