Упр.37 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Пусть остаток от деления натурального числа $$n$$ на $$9$$ равен $$5$$. Найдите остаток от деления на $$9$$ числа $$4n^2+7n+2$$.
- В арифметической прогрессии $$\{a_n\}$$ имеем $$a_1=-85$$, а $$a_{19}$$ — её первый положительный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?
- Найдите наименьшее значение выражения $$2v(x+y+1)-4+3(x+4y-3)^2$$. При каких значениях $$x$$ и $$y$$ оно достигается?
- Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3375 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 2916 р. Первый брокер продал 60% своих акций, а второй — 70%. При этом сумма от продажи акций, полученная первым брокером, в $$1\frac{2}{7}$$ раза превысила сумму, полученную вторым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
Если остаток от деления числа $$n$$ на $$9$$ равен $$5$$, то
$$n=9k+5,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Тогда
$$4n^2+7n+2=4(9k+5)^2+7(9k+5)+2$$
$$=4(81k^2+90k+25)+63k+35+2$$
$$=324k^2+423k+137$$
$$=9(36k^2+47k+15)+2.$$Значит, остаток от деления на $$9$$ равен $$2$$.
Пусть разность арифметической прогрессии равна $$d$$. Тогда
$$a_n=a_1+(n-1)d=-85+(n-1)d.$$
Так как $$a_{18}\le 0$$, а $$a_{19}>0$$, получаем:
$$a_{18}=-85+17d\le 0 \Rightarrow 17d\le 85 \Rightarrow d\le 5,$$
$$a_{19}=-85+18d>0 \Rightarrow 18d>85 \Rightarrow d>\frac{85}{18}.$$Следовательно, $$\frac{85}{18}
$$d=5.$$
Рассмотрим выражение
$$2\sqrt{x+y+1}-4+3(x+4y-3)^2.$$
Оба слагаемых, зависящих от $$x$$ и $$y$$, неотрицательны, поэтому минимум достигается при
$$x+y+1=0,\qquad x+4y-3=0.$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x+y=-1,\\ x+4y=3. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$3y=4,\qquad y=\frac{4}{3}.$$
Тогда
$$x=-1-\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}.$$
Минимальное значение:
$$2\sqrt{0}-4+3\cdot 0^2=-4.$$
Пусть первый брокер купил акций на сумму $$x$$ рублей, а второй — на сумму $$y$$ рублей. Тогда
$$x+y=3375.$$
После повышения цены первый продал $$60\%$$ своих акций, второй — $$70\%$$. Если новая цена одной акции равна $$t$$ рублей, то суммы продажи равны:
$$0{,}6xt \quad \text{и} \quad 0{,}7yt.$$
По условию первая сумма в $$1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$$ раза больше второй, значит
$$0{,}6xt=\frac{9}{7}\cdot 0{,}7yt.$$
Сократим на $$t$$:
$$0{,}6x=0{,}9y \Rightarrow 2x=3y \Rightarrow x=1{,}5y.$$
Подставим в сумму:
$$1{,}5y+y=3375 \Rightarrow 2{,}5y=3375 \Rightarrow y=1350,$$
$$x=2025.$$Теперь используем сумму продажи:
$$0{,}6\cdot 2025\cdot t+0{,}7\cdot 1350\cdot t=2916,$$
$$1215t+945t=2916,$$
$$2160t=2916,$$
$$t=1{,}35.$$Изначально цена одной акции была $$1$$ рубль, значит, цена возросла на
$$\frac{1{,}35-1}{1}\cdot 100\%=35\%.$$
Ответ
1) $$2$$; 2) $$5$$; 3) $$-4$$, при $$x=-\frac{7}{3}$$, $$y=\frac{4}{3}$$; 4) $$35\%$$.
