Упр.369 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б)Сформулируйте теорему, доказанную в этом пункте.
в) Почему в определении степени с рациональным показателем нет противоречия?

а) Под степенью с рациональным показателем $$\frac{p}{q}$$ $$\left(q \ge 2\right)$$ положительного числа $$a$$ понимают число

$$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}.$$

б) Если $$a$$ — положительное число, $$p$$ — целое число, $$q$$ и $$k$$ — натуральные числа, $$q \ge 2,\ k \ge 2,$$ то справедливы равенства:

$$a^{\frac{p}{q}}=\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^p,$$

$$a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{pk}{qk}},$$

$$a^p=a^{\frac{pq}{q}}.$$

в) Если $$q$$ и $$k$$ — натуральные числа, $$a$$ — положительное число, то

$$\frac{p}{q}=\frac{pk}{qk}.$$

Следовательно, если $$r=\frac{p}{q},$$ то $$r=\frac{pk}{qk}$$ для любого натурального $$k,$$ поэтому

$$a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{pk}{qk}}.$$

Значит, определение степени с рациональным показателем не зависит от формы записи числа $$r$$, а зависит только от самого числа $$r$$.

Ответ

а) $$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}.$$

б) $$a^{\frac{p}{q}}=\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^p,\quad a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{pk}{qk}},\quad a^p=a^{\frac{pq}{q}}.$$

в) Противоречия нет, так как одна и та же дробь $$\frac{p}{q}$$ может быть записана как $$\frac{pk}{qk}$$, и значение $$a^r$$ при этом не меняется.