Упр.367 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (x^2-4)(v(x+1)-2)=0
б) (x^2-16)(v(x+3)-1)=0
в) (x^2-x-6)(v(x+1)-3)=0
г) (x^2+2x-15)(v(x+4)-1)=0
д) (корень шестой степени из (2x^2-7)) * (корень четвертой степени из (x^2-2x-2)-1)=0

1. а) $$\left(x^2-4\right)\left(\sqrt{x+1}-2\right)=0$$

   Тогда

   $$x^2-4=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+1}-2=0.$$

   1) $$x^2-4=0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=2 \text{ или } x=-2.$$

   2) $$\sqrt{x+1}-2=0 \Rightarrow \sqrt{x+1}=2 \Rightarrow x+1=4 \Rightarrow x=3.$$

   Проверяем область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$

   Значение $$x=-2$$ не подходит.

2. б) $$\left(x^2-16\right)\left(\sqrt{x+3}-1\right)=0$$

   Тогда

   $$x^2-16=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+3}-1=0.$$

   1) $$x^2-16=0 \Rightarrow (x-4)(x+4)=0 \Rightarrow x=4 \text{ или } x=-4.$$

   2) $$\sqrt{x+3}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x+3}=1 \Rightarrow x+3=1 \Rightarrow x=-2.$$

   Область определения: $$x+3\ge 0,$$ то есть $$x\ge -3.$$

   Значение $$x=-4$$ не подходит.

3. в) $$\left(x^2-x-6\right)\left(\sqrt{x+1}-3\right)=0$$

   Тогда

   $$x^2-x-6=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+1}-3=0.$$

   1) $$x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=3 \text{ или } x=-2.$$

   2) $$\sqrt{x+1}-3=0 \Rightarrow \sqrt{x+1}=3 \Rightarrow x+1=9 \Rightarrow x=8.$$

   Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$

   Значение $$x=-2$$ не подходит.

4. г) $$\left(x^2+2x-15\right)\left(\sqrt{x+4}-1\right)=0$$

   Тогда

   $$x^2+2x-15=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+4}-1=0.$$

   1) $$x^2+2x-15=0 \Rightarrow (x+5)(x-3)=0 \Rightarrow x=-5 \text{ или } x=3.$$

   2) $$\sqrt{x+4}-1=0 \Rightarrow \sqrt{x+4}=1 \Rightarrow x+4=1 \Rightarrow x=-3.$$

   Область определения: $$x+4\ge 0,$$ то есть $$x\ge -4.$$

   Значение $$x=-5$$ не подходит.

5. д) $$\left(\sqrt[6]{2x^2-7}+\sqrt[3]{x-3}\right)\left(\sqrt[4]{x^2-2x-2}-1\right)=0$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{2x^2-7}+\sqrt[3]{x-3}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x^2-2x-2}-1=0.$$

   1) $$\sqrt[6]{2x^2-7}+\sqrt[3]{x-3}=0.$$

   Так как $$\sqrt[3]{x-3}=-\sqrt[3]{3-x},$$ получаем

   $$\sqrt[6]{2x^2-7}=\sqrt[3]{3-x}.$$

   Возведём в шестую степень:

   $$2x^2-7=(3-x)^2.$$

   $$2x^2-7=x^2-6x+9$$

   $$x^2+6x-16=0$$

   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-16)=100,$$

   $$x=\frac{-6\pm 10}{2}.$$

   Отсюда $$x=2$$ или $$x=-8.$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=-8.$$

   2) $$\sqrt[4]{x^2-2x-2}-1=0 \Rightarrow \sqrt[4]{x^2-2x-2}=1.$$

   Тогда

   $$x^2-2x-2=1 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0.$$

   Получаем $$x=3$$ или $$x=-1.$$

   Проверка показывает, что подходит только $$x=3.$$

Ответ

а) $$x=2,\ 3$$; б) $$x=-2,\ 4$$; в) $$x=3,\ 8$$; г) $$x=-3,\ 3$$; д) $$x=-8,\ 3$$.