Упр.366 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) v(x^2+2x+10)+v(x^2+2x+17)=7
б) v(x^2+6x+10)+v(x^2+6x+13)=3
в) v(x^2+3x-1)+v(2x^2+6x-4)=7
г) v(x^2-5x-23)+v(2x^2-10x-32)=5
д) 1/v(x^2-6x+10)+2/v(x^2-6x+13)=2
е) 1/v(x^2-8x+18)+2/v(x^2-8x+24)=v2

1. а)

   $$\sqrt{x^2+2x+10}+\sqrt{x^2+2x+17}=7$$
   $$x^2+2x+10=(x+1)^2+9\ge 9,\qquad x^2+2x+17=(x+1)^2+16\ge 16$$
   $$\sqrt{x^2+2x+10}\ge 3,\qquad \sqrt{x^2+2x+17}\ge 4$$
   Значит, сумма не меньше $$7$$. Равенство достигается при $$x=-1$$.

2. б)

   $$\sqrt{x^2+6x+10}+\sqrt{x^2+6x+13}=3$$
   $$x^2+6x+10=(x+3)^2+1\ge 1,\qquad x^2+6x+13=(x+3)^2+4\ge 4$$
   $$\sqrt{x^2+6x+10}\ge 1,\qquad \sqrt{x^2+6x+13}\ge 2$$
   Тогда сумма не меньше $$3$$, и равенство возможно при $$x=-3$$.

3. в)

   $$\sqrt{x^2+3x-1}+\sqrt{2x^2+6x-4}=7$$
   Сделаем замену:
   $$y=x^2+3x-1$$
   Тогда
   $$\sqrt{y}+\sqrt{2y-2}=7$$
   Возведём в квадрат:
   $$y+2\sqrt{y(2y-2)}+2y-2=49$$
   $$2\sqrt{2y^2-2y}=51-3y$$
   $$8y^2-8y=(51-3y)^2$$
   $$y^2-298y+2601=0$$
   $$D=298^2-4\cdot2601=78400$$
   $$y_1=\frac{298-280}{2}=9,\qquad y_2=\frac{298+280}{2}=289$$
   По области определения:
   $$y\ge 1,\qquad 51-3y\ge 0 \Rightarrow y\le 17$$
   Подходит только $$y=9$$.
   Тогда
   $$x^2+3x-1=9$$
   $$x^2+3x-10=0$$
   $$D=3^2+40=49$$
   $$x=\frac{-3\pm 7}{2}$$
   $$x=-5,\;2$$

4. г)

   $$\sqrt{x^2-5x-23}+\sqrt{2x^2-10x-32}=5$$
   Сделаем замену:
   $$y=x^2-5x-23$$
   Тогда
   $$\sqrt{y}+\sqrt{2y+14}=5$$
   Возведём в квадрат:
   $$y+2\sqrt{y(2y+14)}+2y+14=25$$
   $$2\sqrt{2y^2+14y}=11-3y$$
   $$8y^2+56y=(11-3y)^2$$
   $$y^2-122y+121=0$$
   $$D=122^2-4\cdot121=14400$$
   $$y_1=\frac{122-120}{2}=1,\qquad y_2=\frac{122+120}{2}=121$$
   По области определения:
   $$y\ge 0,\qquad 11-3y\ge 0 \Rightarrow y\le \frac{11}{3}$$
   Подходит только $$y=1$$.
   Тогда
   $$x^2-5x-23=1$$
   $$x^2-5x-24=0$$
   $$D=25+96=121$$
   $$x=\frac{5\pm 11}{2}$$
   $$x=-3,\;8$$

5. д)

   $$\frac{1}{\sqrt{x^2-6x+10}}+\frac{2}{\sqrt{x^2-6x+13}}=2$$
   Сделаем замену:
   $$t=x^2-6x+10$$
   Тогда
   $$\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{2}{\sqrt{t+3}}=2$$
   Перенесём и преобразуем:
   $$\frac{2}{\sqrt{t+3}}=2-\frac{1}{\sqrt{t}}$$
   После возведения в квадрат получаем:
   $$(\sqrt{t}-1)(4\sqrt{t}+9\sqrt{t}-3)=0$$
   Отсюда
   $$\sqrt{t}=1,\qquad t=1$$
   Второе уравнение решений не даёт.
   Тогда
   $$x^2-6x+10=1$$
   $$x^2-6x+9=0$$
   $$(x-3)^2=0$$
   $$x=3$$

6. е)

   $$\frac{1}{\sqrt{x^2-8x+18}}+\frac{2}{\sqrt{x^2-8x+24}}=\sqrt{2}$$
   Сделаем замену:
   $$t=x^2-8x+18$$
   Тогда
   $$\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{2}{\sqrt{t+6}}=\sqrt{2}$$
   После преобразований получаем:
   $$(\sqrt{t}-\sqrt{2})(2\sqrt{t}+9\sqrt{t}-3\sqrt{2})=0$$
   Отсюда
   $$\sqrt{t}=\sqrt{2},\qquad t=2$$
   Второе уравнение решений не даёт.
   Тогда
   $$x^2-8x+18=2$$
   $$x^2-8x+16=0$$
   $$(x-4)^2=0$$
   $$x=4$$

Ответ

а) $$x=-1$$; б) $$x=-3$$; в) $$x=-5,\;2$$; г) $$x=-3,\;8$$; д) $$x=3$$; е) $$x=4$$.