Упр.36 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Упростите выражение (6x^2+x-7)/(13x-10x^2-3) и определите, какие значения оно может принимать.
3) В геометрической прогрессии первый член равен v2, а седьмой равен v128. Найдите восьмой член прогрессии.
4) Решите уравнение 6/((x-1)(x+3))-24/((x-2)(x+4))=1.

Подробный ответ

Решим уравнение $$|1+3x|-|x-1|=2-x.$$
Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны.
1) Если $$x<-\frac13,$$ то
$$-(1+3x)+(x-1)=2-x,$$
$$-1-3x+x-1=2-x,$$
$$x=-4.$$
2) Если $$-\frac13\le x\le 1,$$ то
$$ (1+3x)+(x-1)=2-x,$$
$$4x=2-x,$$
$$5x=2,$$
$$x=\frac25.$$
3) Если $$x>1,$$ то
$$ (1+3x)-(x-1)=2-x,$$
$$1+3x-x+1=2-x,$$
$$3x=0,$$
$$x=0,$$
но это значение не подходит условию $$x>1.$$
Следовательно, решения: $$x=-4$$ и $$x=\frac25.$$
Упростим выражение
$$\frac{6x^2+x-7}{13x-10x^2-3}.$$
Разложим на множители:
$$6x^2+x-7=(3x+7)(2x-1),$$
$$13x-10x^2-3=-(10x^2-13x+3)=-(5x-3)(2x-1).$$
Тогда
$$\frac{6x^2+x-7}{13x-10x^2-3}=-\frac{3x+7}{5x-3}.$$
Область определения исходного выражения:
$$13x-10x^2-3\ne 0,$$
$$x\ne \frac15,\quad x\ne \frac32.$$
Найдём, какие значения может принимать выражение. Пусть
$$y=-\frac{3x+7}{5x-3}.$$
Тогда
$$y(5x-3)=-(3x+7),$$
$$x(5y+3)=3y-7,$$
$$x=\frac{3y-7}{5y+3}.$$
Это возможно при $$5y+3\ne 0,$$ то есть $$y\ne -\frac35.$$
Кроме того, значение $$y=-\frac35$$ действительно не достигается. Значит,
$$E(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac35\right\}.$$
В геометрической прогрессии $$b_1=\sqrt2,$$ $$b_7=\sqrt{128}.$$ Найдём знаменатель $$q.$$
$$b_7=b_1q^6,$$
$$\sqrt{128}=\sqrt2\cdot q^6,$$
$$\sqrt{64}=q^6,$$
$$8=q^6,$$
$$q=\pm\sqrt2.$$
Тогда восьмой член:
$$b_8=b_7q=\sqrt{128}\cdot(\pm\sqrt2)=\pm\sqrt{256}=\pm16.$$
Решим уравнение
$$\frac{6}{(x-1)(x+3)}-\frac{24}{(x-2)(x+4)}=1.$$
Положим
$$t=x^2+2x-3.$$
Тогда
$$x^2+2x-3=(x-1)(x+3),$$
$$x^2+2x-8=(x-2)(x+4),$$
и уравнение принимает вид
$$\frac{6}{t}-\frac{24}{t-5}=1.$$
Умножим на $$t(t-5):$$
$$6(t-5)-24t=t(t-5),$$
$$6t-30-24t=t^2-5t,$$
$$t^2+13t+30=0,$$
$$ (t+10)(t+3)=0.$$
Отсюда $$t=-10$$ или $$t=-3.$$
1) Если $$t=-10,$$ то
$$x^2+2x-3=-10,$$
$$x^2+2x+7=0,$$
$$D=4-28=-24<0,$$
действительных корней нет.
2) Если $$t=-3,$$ то
$$x^2+2x-3=-3,$$
$$x^2+2x=0,$$
$$x(x+2)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=-2.$$
Оба значения подходят области определения.