Упр.351 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

a) корень третьей степени из 2;
б) корень третьей степени из n, где п — простое число.

Подробный ответ

а) Предположим, что $$\sqrt[3]{2}$$ — рациональное число. Тогда $$\sqrt[3]{2}= \frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — взаимно простые целые числа, $$n \ne 0$$.

Возведём обе части в куб:

$$2=\frac{m^3}{n^3},$$

откуда

$$m^3=2n^3.$$

Значит, число $$m^3$$ чётное, следовательно, и $$m$$ чётное. Пусть $$m=2k$$. Тогда

$$8k^3=2n^3,$$

то есть

$$n^3=4k^3.$$

Следовательно, $$n$$ тоже чётное. Но тогда $$m$$ и $$n$$ имеют общий делитель 2, что противоречит их взаимной простоте. Значит, $$\sqrt[3]{2}$$ иррационально.

б) Предположим, что $$\sqrt[3]{n}=k$$, где $$k \in \mathbb{Q}$$. Тогда

$$n=k^3.$$

Если $$k=\frac{m}{r}$$, где $$m$$ и $$r$$ — взаимно простые целые числа, то

$$n=\frac{m^3}{r^3}.$$

Так как $$n$$ — целое число, то $$r=1$$, и значит, $$k$$ — целое число. Тогда $$n=k^3$$, то есть $$n$$ является кубом целого числа. Но простое число не может быть кубом целого числа. Противоречие.

Следовательно, $$\sqrt[3]{n}$$ иррационально при простом $$n$$.