Упр.350 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

350. Докажите, что не существует рационального числа, куб которого равен:
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5.

Предположим, что существует рациональное число $$x$$, такое что $$x^3=n$$, где $$n$$ — одно из чисел $$2, 3, 4, 5$$.

Тогда число $$x$$ должно лежать между соседними целыми числами, кубы которых ограничивают $$n$$:

$$1^3=1,\qquad 2^3=8.$$

Для всех данных случаев имеем:

• $$1<2<8$$, значит $$1<\sqrt[3]{2}<2$$;
• $$1<3<8$$, значит $$1<\sqrt[3]{3}<2$$;
• $$1<4<8$$, значит $$1<\sqrt[3]{4}<2$$;
• $$1<5<8$$, значит $$1<\sqrt[3]{5}<2$$.

Если бы соответствующий кубический корень был рациональным, то он должен был бы быть целым числом между $$1$$ и $$2$$. Но таких целых чисел нет. Следовательно, ни одно из чисел $$2, 3, 4, 5$$ не является кубом рационального числа.

Ответ

Рационального числа, куб которого равен $$2$$, $$3$$, $$4$$ или $$5$$, не существует.