Упр.347 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Если натуральное число $$N$$ не есть куб натурального числа, то является ли число $$\sqrt[3]{N}$$ иррациональным?

Предположим, что $$\sqrt[3]{N}$$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $$\frac{a}{b}$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, $$\gcd(a,b)=1$$.

Тогда

$$\sqrt[3]{N}=\frac{a}{b} \;\Rightarrow\; N=\frac{a^3}{b^3}.$$

Так как $$N$$ — натуральное число, то $$b^3$$ должно делить $$a^3$$. Но дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, значит, это возможно только при $$b=1$$. Следовательно, $$\sqrt[3]{N}=a$$ — натуральное число, а значит, $$N=a^3$$ является кубом натурального числа.

Это противоречит условию, что $$N$$ не является кубом натурального числа. Значит, предположение неверно, и число $$\sqrt[3]{N}$$ иррационально.

Ответ

Да, $$\sqrt[3]{N}$$ — иррациональное число.