Упр.34 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
(0,12^3-0,28^3)/0,16-0,12·0,28.
2) В арифметической прогрессии a_133/a_5=17. Найдите a_25/a_47.
3) Упростите выражение xy/(x-y)·(y/x-x/y), найдите значение этого выражения, если х+у=1,7.
4) Решите систему уравнений {((3x-1)/(y+1)-(3y-1)/(x+1)=2, (3y+3)/(3x-1)+(2x+2)/(3y-1)=1).
$$\frac{0{,}12^3-0{,}28^3}{0{,}16}-0{,}12\cdot 0{,}28$$
Используем формулу разности кубов:
$$0{,}12^3-0{,}28^3=(0{,}12-0{,}28)(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2).$$Так как $$0{,}12-0{,}28=-0{,}16,$$ то
$$ \frac{0{,}12^3-0{,}28^3}{0{,}16} =-\bigl(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr). $$Тогда
$$ -\bigl(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr)-0{,}12\cdot 0{,}28 =-\bigl(0{,}12^2+2\cdot 0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr) $$
$$ =-(0{,}12+0{,}28)^2=-0{,}4^2=-0{,}16. $$В арифметической прогрессии
$$ a_{133}=a_1+132d,\qquad a_5=a_1+4d. $$
По условию
$$ \frac{a_{133}}{a_5}=17, $$
значит
$$ \frac{a_1+132d}{a_1+4d}=17. $$Отсюда
$$ a_1+132d=17(a_1+4d), $$
$$ a_1+132d=17a_1+68d, $$
$$ 16a_1=64d,\qquad a_1=4d. $$Тогда
$$ \frac{a_{25}}{a_{47}}=\frac{a_1+24d}{a_1+46d} =\frac{4d+24d}{4d+46d} =\frac{28d}{50d} =\frac{14}{25}. $$$$\frac{xy}{x-y}\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)$$
Преобразуем:
$$ \frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2-x^2}{xy} =\frac{(y-x)(y+x)}{xy}. $$
Тогда
$$ \frac{xy}{x-y}\cdot \frac{(y-x)(y+x)}{xy} =\frac{y-x}{x-y}(y+x)=-(x+y). $$Если $$x+y=1{,}7,$$ то
$$ -(x+y)=-1{,}7. $$Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}-\dfrac{3y-1}{x+1}=2,\\[6pt] \dfrac{3y+3}{3x-1}+\dfrac{2x+2}{3y-1}=1. \end{cases} $$Обозначим
$$ z=\frac{3x-1}{y+1},\qquad t=\frac{3y-1}{x+1}. $$
Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} z-t=2,\\ \dfrac{3}{z}+\dfrac{2}{t}=1. \end{cases} $$Из первого уравнения $$z=t+2.$$ Подставим во второе:
$$ \frac{3}{t+2}+\frac{2}{t}=1. $$
Умножим на $$t(t+2)$$:
$$ 3t+2(t+2)=t(t+2), $$
$$ 3t+2t+4=t^2+2t, $$
$$ t^2-3t-4=0. $$
Тогда
$$ (t-4)(t+1)=0, $$
значит,
$$ t=4 \quad \text{или} \quad t=-1. $$1) Если $$t=-1,$$ то $$z=1.$$ Получаем систему
$$ \begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}=1,\\[6pt] \dfrac{3y-1}{x+1}=-1. \end{cases} $$
Отсюда
$$ 3x-1=y+1,\qquad 3y-1=-x-1. $$
То есть
$$ \begin{cases} 3x-y=2,\\ x=-3y. \end{cases} $$
Подставим:
$$ 3(-3y)-y=2, $$
$$ -10y=2,\qquad y=-0{,}2, $$
$$ x=-3\cdot(-0{,}2)=0{,}6. $$2) Если $$t=4,$$ то $$z=6.$$ Тогда
$$ \begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}=6,\\[6pt] \dfrac{3y-1}{x+1}=4. \end{cases} $$
Получаем
$$ 3x-1=6y+6,\qquad 3y-1=4x+4. $$
То есть
$$ \begin{cases} x=2y+\dfrac{7}{3},\\ 3y-4x=5. \end{cases} $$
Подставим:
$$ 3y-4\left(2y+\frac{7}{3}\right)=5, $$
$$ 3y-8y-\frac{28}{3}=5, $$
$$ -5y=\frac{43}{3}, $$
$$ y=-\frac{43}{15}, $$
$$ x=2\left(-\frac{43}{15}\right)+\frac{7}{3} =-\frac{86}{15}+\frac{35}{15} =-\frac{51}{15} =-\frac{17}{5}. $$
Ответ
1) $$-0{,}16$$;
2) $$\frac{14}{25}$$;
3) $$-1{,}7$$;
4) $$(0{,}6;\,-0{,}2),\ \left(-\frac{17}{5};\,-\frac{43}{15}\right).$$
