Упр.34 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. $$\frac{0{,}12^3-0{,}28^3}{0{,}16}-0{,}12\cdot 0{,}28$$

   Используем формулу разности кубов:
   $$0{,}12^3-0{,}28^3=(0{,}12-0{,}28)(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2).$$

   Так как $$0{,}12-0{,}28=-0{,}16,$$ то
   $$\frac{0{,}12^3-0{,}28^3}{0{,}16} =-\bigl(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr).$$

   Тогда
   $$-\bigl(0{,}12^2+0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr)-0{,}12\cdot 0{,}28 =-\bigl(0{,}12^2+2\cdot 0{,}12\cdot 0{,}28+0{,}28^2\bigr)$$
   $$=-(0{,}12+0{,}28)^2=-0{,}4^2=-0{,}16.$$

2. В арифметической прогрессии
   $$a_{133}=a_1+132d,\qquad a_5=a_1+4d.$$
   По условию
   $$\frac{a_{133}}{a_5}=17,$$
   значит
   $$\frac{a_1+132d}{a_1+4d}=17.$$

   Отсюда
   $$a_1+132d=17(a_1+4d),$$
   $$a_1+132d=17a_1+68d,$$
   $$16a_1=64d,\qquad a_1=4d.$$

   Тогда
   $$\frac{a_{25}}{a_{47}}=\frac{a_1+24d}{a_1+46d} =\frac{4d+24d}{4d+46d} =\frac{28d}{50d} =\frac{14}{25}.$$

3. $$\frac{xy}{x-y}\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)$$

   Преобразуем:
   $$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2-x^2}{xy} =\frac{(y-x)(y+x)}{xy}.$$
   Тогда
   $$\frac{xy}{x-y}\cdot \frac{(y-x)(y+x)}{xy} =\frac{y-x}{x-y}(y+x)=-(x+y).$$

   Если $$x+y=1{,}7,$$ то
   $$-(x+y)=-1{,}7.$$

4. Рассмотрим систему:
   $$\begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}-\dfrac{3y-1}{x+1}=2,\\[6pt] \dfrac{3y+3}{3x-1}+\dfrac{2x+2}{3y-1}=1. \end{cases}$$

   Обозначим
   $$z=\frac{3x-1}{y+1},\qquad t=\frac{3y-1}{x+1}.$$
   Тогда система принимает вид
   $$\begin{cases} z-t=2,\\ \dfrac{3}{z}+\dfrac{2}{t}=1. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$z=t+2.$$ Подставим во второе:
   $$\frac{3}{t+2}+\frac{2}{t}=1.$$
   Умножим на $$t(t+2)$$:
   $$3t+2(t+2)=t(t+2),$$
   $$3t+2t+4=t^2+2t,$$
   $$t^2-3t-4=0.$$
   Тогда
   $$(t-4)(t+1)=0,$$
   значит,
   $$t=4 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

   1) Если $$t=-1,$$ то $$z=1.$$ Получаем систему
   $$\begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}=1,\\[6pt] \dfrac{3y-1}{x+1}=-1. \end{cases}$$
   Отсюда
   $$3x-1=y+1,\qquad 3y-1=-x-1.$$
   То есть
   $$\begin{cases} 3x-y=2,\\ x=-3y. \end{cases}$$
   Подставим:
   $$3(-3y)-y=2,$$
   $$-10y=2,\qquad y=-0{,}2,$$
   $$x=-3\cdot(-0{,}2)=0{,}6.$$

   2) Если $$t=4,$$ то $$z=6.$$ Тогда
   $$\begin{cases} \dfrac{3x-1}{y+1}=6,\\[6pt] \dfrac{3y-1}{x+1}=4. \end{cases}$$
   Получаем
   $$3x-1=6y+6,\qquad 3y-1=4x+4.$$
   То есть
   $$\begin{cases} x=2y+\dfrac{7}{3},\\ 3y-4x=5. \end{cases}$$
   Подставим:
   $$3y-4\left(2y+\frac{7}{3}\right)=5,$$
   $$3y-8y-\frac{28}{3}=5,$$
   $$-5y=\frac{43}{3},$$
   $$y=-\frac{43}{15},$$
   $$x=2\left(-\frac{43}{15}\right)+\frac{7}{3} =-\frac{86}{15}+\frac{35}{15} =-\frac{51}{15} =-\frac{17}{5}.$$

Ответ

1) $$-0{,}16$$;
2) $$\frac{14}{25}$$;
3) $$-1{,}7$$;
4) $$(0{,}6;\,-0{,}2),\ \left(-\frac{17}{5};\,-\frac{43}{15}\right).$$