Упр.337 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство:

• а) $$\sqrt[3]{10}>2$$;
• б) $$3<\sqrt[4]{100}$$;
• в) $$\sqrt{7}>\sqrt[4]{16}$$;
• г) $$\sqrt[4]{81}<\sqrt{10}$$;
• д) $$\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$$;
• е) $$\sqrt[4]{3}<\sqrt[3]{4}$$;
• ж) $$\sqrt[5]{2}<\sqrt{5}$$;
• з) $$\sqrt{7}>\sqrt[4]{20}$$.

Возведём обе части каждого неравенства в степень, равную показателю корня. Так как все числа положительные, знак неравенства при этом сохраняется.

1. $$\sqrt[3]{10} > 2$$
   
   Возведём в куб:
   $$10 > 2^3 = 8.$$
   Неравенство верно.
2. $$3 < \sqrt[4]{100}$$
   
   Возведём в четвёртую степень:
   $$3^4 = 81 < 100.$$
   Неравенство верно.
3. $$\sqrt{7} > \sqrt[4]{16}$$
   
   Возведём обе части в четвёртую степень:
   $$(\sqrt{7})^4 = 49,\qquad (\sqrt[4]{16})^4 = 16.$$
   Получаем:
   $$49 > 16.$$
   Неравенство верно.
4. $$\sqrt[4]{81} < \sqrt{10}$$
   
   Возведём обе части в четвёртую степень:
   $$81 < 10^2 = 100.$$
   Неравенство верно.
5. $$\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$$
   
   Возведём обе части в 12-ю степень:
   $$(\sqrt[3]{3})^{12} = 3^4,\qquad (\sqrt[4]{4})^{12} = 4^3.$$
   Тогда
   $$3^4 = 81 > 64 = 4^3.$$
   Неравенство верно.
6. $$\sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}$$
   
   Возведём обе части в 12-ю степень:
   $$(\sqrt[4]{3})^{12} = 3^3,\qquad (\sqrt[3]{4})^{12} = 4^4.$$
   Получаем:
   $$27 < 256.$$
   Неравенство верно.
7. $$\sqrt[5]{2} < \sqrt{5}$$
   
   Возведём обе части в 10-ю степень:
   $$(\sqrt[5]{2})^{10} = 2^2,\qquad (\sqrt{5})^{10} = 5^5.$$
   Тогда
   $$4 < 3125.$$
   Неравенство верно.
8. $$\sqrt{7} > \sqrt[4]{20}$$
   
   Возведём обе части в четвёртую степень:
   $$(\sqrt{7})^4 = 49,\qquad (\sqrt[4]{20})^4 = 20.$$
   Получаем:
   $$49 > 20.$$
   Неравенство верно.

Ответ

Все данные неравенства верны.