Упр.329 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Каковы свойства функции у = корень n-ой степени из х (х > = 0)?

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[n]{x}, \quad x\ge 0.$$

Так как при $$x\ge 0$$ значение корня неотрицательно, то область значений этой функции также неотрицательна:

$$E(y)=[0;+\infty).$$

Основные свойства функции $$y=\sqrt[n]{x}$$ при $$x\ge 0$$:

• если $$x=0$$, то $$y=0$$;
• если $$x>0$$, то $$y>0$$;
• функция возрастает на промежутке $$[0;+\infty);$$
• если $$x\to +\infty,$$ то $$y\to +\infty;$$
• функция непрерывна на $$[0;+\infty);$$
• если $$x>1,$$ то $$\sqrt[n]{x}>1;$$
• если $$0<x<1,$$ то $$0<\sqrt[n]{x}<1;$$
• если $$0<x<1,$$ то $$x<\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}<\sqrt[4]{x}<\dots;$$
• если $$x>1,$$ то $$x>\sqrt{x}>\sqrt[3]{x}>\sqrt[4]{x}>\dots$$

Ответ

а) $$E(y)=[0;+\infty).$$

б) $$y=\sqrt[n]{x}$$ при $$x\ge 0$$: $$y(0)=0,$$ при $$x>0$$ имеем $$y>0,$$ функция возрастает на $$[0;+\infty),$$ непрерывна на этом промежутке, и при $$x\to+\infty$$ значение $$y\to+\infty.$$