Упр.325 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{a}\cdot\sqrt[4]{a}$$; б) $$\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{x}$$; в) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$$; г) $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}$$.

1. а) $$\sqrt{a\sqrt[4]{a}}=\sqrt{a\cdot \sqrt[4]{a}}=\sqrt{a\cdot a^{1/4}}=\sqrt{a^{5/4}}=a^{5/8}=\sqrt[8]{a^5}.$$

2. б) $$\sqrt[3]{x\sqrt{x}}=\sqrt[3]{x\cdot \sqrt{x}}=\sqrt[3]{x\cdot x^{1/2}}=\sqrt[3]{x^{3/2}}=x^{1/2}=\sqrt{x}.$$

3. в) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt{x\cdot \sqrt{x\cdot \sqrt{x}}}.$$

   Переходим к степеням:

   $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=\sqrt{x\cdot \sqrt{x\cdot x^{1/2}}}=\sqrt{x\cdot \sqrt{x^{3/2}}}=\sqrt{x\cdot x^{3/4}}=\sqrt{x^{7/4}}=x^{7/8}=\sqrt[8]{x^7}.$$

4. г) $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{b\cdot \sqrt[3]{c}}}.$$

   Запишем через степени:

   $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{b\cdot c^{1/3}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{b\cdot b^{0}c^{1/3}}}$$

   Удобнее сразу объединить показатели:

   $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{b\cdot c^{1/3}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{b^{1}c^{1/3}}}=\sqrt[3]{a\cdot b^{1/3}c^{1/9}}=a^{1/3}b^{1/9}c^{1/27}=\sqrt[27]{a^9b^3c}.$$

Ответ

а) $$\sqrt[8]{a^5}$$; б) $$\sqrt{x}$$; в) $$\sqrt[8]{x^7}$$; г) $$\sqrt[27]{a^9b^3c}$$.