Упр.32 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Решите уравнение
1/(2-x)-1=1/(x-2)-(6-x)/(3x^2-12).
3) На турбазе имеются палатки и домики, всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке — 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?
4) С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений
{(y=x^3, xy=4).

Подробный ответ

Подставим $$a=\sqrt{5}+4$$ в выражение:
$$a^2-6\sqrt{5}a-1=(\sqrt{5}+4)^2-6\sqrt{5}(\sqrt{5}+4)-1$$
$$=5+8\sqrt{5}+16-30-24\sqrt{5}-1=-10-16\sqrt{5}.$$
Решим уравнение:
$$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}.$$
Так как $$2-x=-(x-2),$$ а $$3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2),$$ получаем
$$-\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}.$$
Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$3(x-2)(x+2)$$:
$$ 2\cdot 3(x+2)-(6-x)+3(x-2)(x+2)=0 $$
$$ 6(x+2)-(6-x)+3(x^2-4)=0 $$
$$ 6x+12-6+x+3x^2-12=0 $$
$$ 3x^2+7x-6=0. $$
Найдём корни:
$$ D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121, $$
$$ x=\frac{-7\pm 11}{6}. $$
Отсюда
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{2}{3}.$$
Пусть на турбазе $$x$$ палаток и $$y$$ домиков. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=25,\\ 2x+4y=70. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=25-x$$. Подставим во второе:
$$ 2x+4(25-x)=70 $$
$$ 2x+100-4x=70 $$
$$ -2x=-30 $$
$$ x=15,\qquad y=25-15=10. $$
Система
$$ \begin{cases} y=x^3,\\ xy=4 \end{cases} $$
равносильна системе
$$ \begin{cases} y=x^3,\\ y=\frac{4}{x}. \end{cases} $$
Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению
$$ x^3=\frac{4}{x},\qquad x\ne 0. $$
$$ x^4=4 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}. $$
Значит, система имеет 2 решения.