Упр.32 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Найдите значение выражения $$a^2-6\sqrt{5}a-1$$ при $$a=\sqrt{5}+4$$.
- Решите уравнение $$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}$$.
- На турбазе имеются палатки и домики, всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке — 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?
- С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:
$$\begin{cases} y=x^3,\\ xy=4. \end{cases}$$
Подставим $$a=\sqrt{5}+4$$ в выражение:
$$a^2-6\sqrt{5}a-1=(\sqrt{5}+4)^2-6\sqrt{5}(\sqrt{5}+4)-1$$
$$=5+8\sqrt{5}+16-30-24\sqrt{5}-1=-10-16\sqrt{5}.$$
Решим уравнение:
$$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}.$$
Так как $$2-x=-(x-2),$$ а $$3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2),$$ получаем
$$-\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}.$$
Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$3(x-2)(x+2)$$:
$$2\cdot 3(x+2)-(6-x)+3(x-2)(x+2)=0$$
$$6(x+2)-(6-x)+3(x^2-4)=0$$
$$6x+12-6+x+3x^2-12=0$$
$$3x^2+7x-6=0.$$
Найдём корни:
$$D=7^2-4\cdot 3\cdot(-6)=49+72=121,$$
$$x=\frac{-7\pm 11}{6}.$$
Отсюда
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{2}{3}.$$
Пусть на турбазе $$x$$ палаток и $$y$$ домиков. Тогда
$$\begin{cases} x+y=25,\\ 2x+4y=70. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$y=25-x$$. Подставим во второе:
$$2x+4(25-x)=70$$
$$2x+100-4x=70$$
$$-2x=-30$$
$$x=15,\qquad y=25-15=10.$$
Система
$$\begin{cases} y=x^3,\\ xy=4 \end{cases}$$
равносильна системе
$$\begin{cases} y=x^3,\\ y=\frac{4}{x}. \end{cases}$$
Точки пересечения графиков удовлетворяют уравнению
$$x^3=\frac{4}{x},\qquad x\ne 0.$$
$$x^4=4 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}.$$
Значит, система имеет 2 решения.
Ответ
1) $$-10-16\sqrt{5}$$; 2) $$-3,\ \frac{2}{3}$$; 3) 15 палаток, 10 домиков; 4) 2 решения.
