Упр.31 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$\sqrt{18}-(\sqrt{32}-(5\sqrt{2}+\sqrt{200}))$$.
2. Укажите точки пересечения графика функции $$y=\sqrt{x}$$ с осями координат.
3. Найдите область определения функции $$y=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}$$.
4. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} x^2-6y=-14,\\ y^2-4x=1. \end{cases}$$

1. $$\sqrt{18}-\left(\sqrt{32}-\left(5\sqrt{2}+\sqrt{200}\right)\right)=\sqrt{18}-\sqrt{32}+5\sqrt{2}+\sqrt{200}.$$

   $$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\quad \sqrt{32}=4\sqrt{2},\quad \sqrt{200}=10\sqrt{2}.$$

   $$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+5\sqrt{2}+10\sqrt{2}=14\sqrt{2}.$$

2. Для функции $$y=\sqrt{x}$$:

   Пересечение с осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем $$y=\sqrt{0}=0$$, значит точка $$\left(0;0\right)$$.

   Пересечение с осью $$Ox$$: при $$y=0$$ имеем $$\sqrt{x}=0$$, откуда $$x=0$$.

   Точка пересечения одна: $$\left(0;0\right)$$.

3. Для функции $$y=\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\dfrac{x-2}{x+1}\ge 0,\quad x\ne -1.$$

   Исследуем знаки дроби. Получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup[2;+\infty).$$

4. Решим систему:

   $$\begin{cases} x^2-6y=-14,\\ y^2-4x=1. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$x^2+y^2-6y-4x=-13.$$

   Дополним до квадратов:

   $$(x^2-4x+4)+(y^2-6y+9)=0,$$

   $$(x-2)^2+(y-3)^2=0.$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x-2=0,\quad y-3=0.$$

   Значит, $$x=2,\ y=3.$$

Ответ

1) $$14\sqrt{2}$$; 2) $$\left(0;0\right)$$; 3) $$x\in(-\infty;-1)\cup[2;+\infty)$$; 4) $$\left(2;3\right)$$.