Упр.300 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) корень четвертой степени из (17 — 12*корень из 2) — корень из 2
б) корень четвертой степени из (97 -56*корень 3) + корень из 3
является целым числом.

а) Преобразуем подкоренное выражение:

$$ 17-12\sqrt2=9-12\sqrt2+8=(3-2\sqrt2)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt[4]{17-12\sqrt2}-\sqrt2=\sqrt[4]{(3-2\sqrt2)^2}-\sqrt2=\sqrt{3-2\sqrt2}-\sqrt2. $$
Заметим, что
$$ 3-2\sqrt2=2-2\sqrt2+1=(\sqrt2-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{3-2\sqrt2}-\sqrt2=\sqrt{(\sqrt2-1)^2}-\sqrt2=|\sqrt2-1|-\sqrt2. $$
Так как $$\sqrt2-1>0,$$ то
$$ |\sqrt2-1|=\sqrt2-1. $$
Значит,
$$ \sqrt2-1-\sqrt2=-1. $$

б) Аналогично:

$$ 97-56\sqrt3=49-2\cdot 7\cdot 4\sqrt3+48=(7-4\sqrt3)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt[4]{97-56\sqrt3}+\sqrt3=\sqrt[4]{(7-4\sqrt3)^2}+\sqrt3=\sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt3. $$
Заметим, что
$$ 7-4\sqrt3=4-2\cdot 2\sqrt3+3=(2-\sqrt3)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt3=\sqrt{(2-\sqrt3)^2}+\sqrt3=|2-\sqrt3|+\sqrt3. $$
Так как $$2-\sqrt3>0,$$ получаем
$$ |2-\sqrt3|=2-\sqrt3. $$
Тогда
$$ 2-\sqrt3+\sqrt3=2. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$2$$.