Упр.3 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Найдите все значения $$a$$, для каждого из которых неравенство $$ax^2-(2a+1)x+a>0$$ не имеет решений.

Рассмотрим квадратный трехчлен

$$ax^2-(2a+1)x+a.$$

Чтобы неравенство

$$ax^2-(2a+1)x+a>0$$

не имело решений, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось абсцисс выше нуля, то есть весь график должен лежать не выше оси $$Ox$$.

1) Ветви параболы направлены вниз, если

$$a<0.$$

2) Найдём дискриминант:

$$D=(2a+1)^2-4\cdot a\cdot a=4a^2+4a+1-4a^2=4a+1.$$

3) Чтобы неравенство не имело решений, нужно, чтобы максимум квадратичной функции был не больше нуля. При $$a<0$$ это эквивалентно условию

$$D\le 0.$$

Тогда

$$4a+1\le 0,$$

$$4a\le -1,$$

$$a\le -\frac14.$$

С учётом условия $$a<0$$ получаем:

$$a\le -\frac14.$$

Ответ

$$a\in(-\infty;\,-\tfrac14].$$