Упр.28 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

2) Решите неравенство (2x-3)/(3x-7) < 0. 3) Решите уравнение x^2+x^(-2)=2. 4) Сравните числа v(17/19)·v(13/23) и v(17/23)·v(13/19).

1. Умножим уравнение на $$30$$:

   $$ 6(x^2-7x)+10(x-1)=2x^2-5x-3 $$

   $$ 6x^2-42x+10x-10=2x^2-5x-3 $$

   $$ 4x^2-27x-7=0 $$

   Найдём корни квадратного уравнения:

   $$ D=(-27)^2-4\cdot 4\cdot(-7)=729+112=841 $$

   $$ x=\frac{27\pm 29}{8} $$

   $$ x_1=\frac{27-29}{8}=-\frac14,\qquad x_2=\frac{27+29}{8}=7 $$

2. Рассмотрим неравенство:

   $$ \frac{2x-3}{3x-7}<0 $$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Критические точки:

   $$ 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,\qquad 3x-7=0 \Rightarrow x=\frac73 $$

   Знак дроби отрицателен на промежутке

   $$ \frac32<x<\frac73 $$

3. Решим уравнение:

   $$ x^2+x^{-2}=2 $$

   Так как $$x\neq 0$$, умножим на $$x^2$$:

   $$ x^4+1=2x^2 $$

   $$ x^4-2x^2+1=0 $$

   $$ (x^2-1)^2=0 $$

   $$ x^2=1 $$

   $$ x=\pm 1 $$

4. Сравним числа:

   $$ \sqrt{\frac{17}{19}}\cdot \sqrt{\frac{13}{23}} \quad \text{и} \quad \sqrt{\frac{17}{23}}\cdot \sqrt{\frac{13}{19}} $$

   Возведём оба выражения в квадрат:

   $$ \left(\sqrt{\frac{17}{19}}\cdot \sqrt{\frac{13}{23}}\right)^2=\frac{17\cdot 13}{19\cdot 23} $$

   $$ \left(\sqrt{\frac{17}{23}}\cdot \sqrt{\frac{13}{19}}\right)^2=\frac{17\cdot 13}{23\cdot 19} $$

   Получили одно и то же число, значит, исходные выражения равны.

Ответ

1) $$x=-\frac14,\ 7$$; 2) $$x\in\left(\frac32;\frac73\right)$$; 3) $$x=-1,\ 1$$; 4) числа равны.