Упр.26 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Решите уравнение (x^2-6x)^2-6(x^2-6x)+9=81.
3) Решите систему уравнений {(3/x-5/y=2, 7/x+10/y=9).
4) Сравните значения выражений 8^(1,2) и (0,5)^(-2).

Подробный ответ

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+5$$ ч. Вместе они выполняют работу за 6 ч, значит:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6x(x+5)$$:
$$6(x+5)+6x=x(x+5),$$
$$6x+30+6x=x^2+5x,$$
$$x^2-7x-30=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2}.$$
Получаем $$x_1=-3$$, $$x_2=10$$. Отрицательное значение не подходит, значит первый рабочий выполняет работу за $$10$$ ч, а второй — за $$15$$ ч.
Пусть $$y=x^2-6x$$. Тогда уравнение принимает вид:
$$y^2-6y+9=81,$$
$$y^2-6y-72=0.$$
$$D=36+288=324,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 18}{2}.$$
Значит, $$y_1=-6$$, $$y_2=12$$.
1) Если $$x^2-6x=-6$$, то
$$x^2-6x+6=0,$$
$$D=36-24=12,$$
$$x=3\pm \sqrt{3}.$$
2) Если $$x^2-6x=12$$, то
$$x^2-6x-12=0,$$
$$D=36+48=84,$$
$$x=3\pm \sqrt{21}.$$
Обозначим $$u=\frac{1}{x}$$, $$v=\frac{1}{y}$$. Тогда система имеет вид:
$$ \begin{cases} 3u-5v=2,\\ 7u+10v=9. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$6u-10v=4.$$
Сложим с вторым уравнением:
$$13u=13,$$
$$u=1.$$
Тогда $$\frac{1}{x}=1$$, значит $$x=1$$. Подставим в первое уравнение:
$$3-\frac{5}{y}=2,$$
$$\frac{5}{y}=1,$$
$$y=5.$$
Так как $$8^{1,2}=(2^3)^{1,2}=2^{3,6}$$, а $$0,5^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2,$$ то сравниваем $$2^{3,6}$$ и $$2^2$$.
Поскольку при основании $$2>1$$ большая степень даёт большее значение, то
$$8^{1,2}>(0,5)^{-2}.$$