Упр.24 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если формула n-го её члена $$b_n=4\cdot(0,5)^{n-1}$$.
2. Решите неравенство $$\frac{1+4y}{1-3y}<1$$.
3. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=2,\\ \frac{3}{x+y}+\frac{4}{x-y}=7. \end{cases}$$
4. Сравните значения выражений $$(0,7)^{-5}$$ и $$(0,7)^0$$.

1. Найдём первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

   $$b_1=4\cdot(0{,}5)^0=4,$$

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4\cdot(0{,}5)^1}{4}=0{,}5=\frac12.$$

   Сумма первых шести членов:

   $$S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{4\left(1-\left(\frac12\right)^6\right)}{1-\frac12}$$

   $$S_6=\frac{4\left(1-\frac1{64}\right)}{\frac12}=8\cdot\frac{63}{64}=\frac{63}{8}=7\frac78.$$

2. Решим неравенство:

   $$\frac{1+4y}{1-3y}<1,$$

   $$\frac{1+4y-(1-3y)}{1-3y}<0,$$

   $$\frac{7y}{1-3y}<0.$$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Получаем:

   $$y<0 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$

3. Решим систему:

   $$\begin{cases} \frac1{x+y}+\frac1{x-y}=2,\\ \frac3{x+y}+\frac4{x-y}=7. \end{cases}$$

   Обозначим:

   $$a=\frac1{x+y}, \quad b=\frac1{x-y}.$$

   Тогда система примет вид:

   $$\begin{cases} a+b=2,\\ 3a+4b=7. \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a=2-b$$. Подставим во второе:

   $$3(2-b)+4b=7,$$

   $$6+b=7,$$

   $$b=1,\quad a=1.$$

   Тогда

   $$\frac1{x+y}=1 \Rightarrow x+y=1,$$

   $$\frac1{x-y}=1 \Rightarrow x-y=1.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} x+y=1,\\ x-y=1. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$2x=2 \Rightarrow x=1,$$

   $$y=0.$$

4. Так как $$0<0{,}7<1,$$ то функция $$y=(0{,}7)^x$$ убывает. При переходе от $$x=0$$ к $$x=-5$$ значение функции увеличивается:

   $$(0{,}7)^{-5} > (0{,}7)^0.$$

Ответ

1) $$7\frac78$$; 2) $$y\in(-\infty;0)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; 3) $$(1;0)$$; 4) $$(0{,}7)^{-5} > (0{,}7)^0$$.