Упр.231 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 231. Сравните значения функций у = х и у = х^5 при значениях аргумента: а) 0 < х < 1; б) х > 1; в) -1 < х < 0; г) х < —1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 231 95

Сравним функции $$y=x$$ и $$y=x^5$$, рассмотрев разность:

$$x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)=x(x-1)(x+1)(x^2+1).$$

Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, знак разности определяется произведением $$x(x-1)(x+1)$$.

Теперь рассмотрим заданные промежутки:

1. $$0<x<1$$. Тогда $$x>0$$, $$x-1<0$$, $$x+1>0$$, значит $$x^5-x<0$$, то есть $$x^5<x$$.
2. $$x>1$$. Тогда все множители $$x$$, $$x-1$$, $$x+1$$ положительны, значит $$x^5-x>0$$, то есть $$x^5>x$$.
3. $$-1<x<0$$. Тогда $$x<0$$, $$x-1<0$$, $$x+1>0$$, значит $$x^5-x>0$$, то есть $$x^5>x$$.
4. $$x<-1$$. Тогда $$x<0$$, $$x-1<0$$, $$x+1<0$$, значит $$x^5-x<0$$, то есть $$x^5<x$$.

Ответ

а) $$x^5<x$$; б) $$x^5>x$$; в) $$x^5>x$$; г) $$x^5<x$$.