Упр.229 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) Сравните значения этих функций на промежутке (0; 1); (1; +бесконечность).
б) При каких значениях х значения каждой из данных функций больше 0? меньше 0? больше 1? меньше 1?
в) Существуют ли такие значения х, при которых значения функции у = х^3 больше соответствующих значений функции у = х^4?
г) На каком промежутке каждая из данных функций является возрастающей? убывающей?

Рассмотрим функции $$y=x^4$$ и $$y=x^3$$.

а) Сравним значения на указанных промежутках.

Если $$0<x<1,$$ то при возведении числа в более высокую степень оно уменьшается, значит

$$x^3>x^4.$$

Если $$x>1,$$ то при возведении числа в более высокую степень оно увеличивается, значит

$$x^4>x^3.$$

б) Найдём, при каких значениях $$x$$ функции больше 0, меньше 0, больше 1, меньше 1.

Для функции $$y=x^3$$:

$$y>0 \text{ при } x>0,$$

$$y<0 \text{ при } x<0,$$

$$y>1 \text{ при } x>1,$$

$$y<1 \text{ при } x<1.$$

Для функции $$y=x^4$$:

$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$

$$y<0 \text{ — нет},$$

$$y>1 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$

$$y<1 \text{ при } x\in(-1;1).$$

в) Сравним функции:

$$x^3>x^4 \iff x^3(1-x)>0.$$

Это выполняется при

$$x\in(0;1).$$

г) Исследуем монотонность.

Функция $$y=x^3$$ возрастает на всей числовой прямой:

$$(-\infty;+\infty).$$

Функция $$y=x^4$$ убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$ и возрастает на промежутке $$[0;+\infty).$$

Ответ

а) На $$ (0;1) $$ выполняется $$x^3>x^4$$, на $$ (1;+\infty) $$ — $$x^4>x^3$$.

б) Для $$y=x^3$$: $$y>0$$ при $$x>0$$, $$y<0$$ при $$x<0$$, $$y>1$$ при $$x>1$$, $$y<1$$ при $$x<1$$. Для $$y=x^4$$: $$y>0$$ при $$x\ne0$$, $$y<0$$ — нет, $$y>1$$ при $$x<-1$$ или $$x>1$$, $$y<1$$ при $$-1<x<1$$.

в) Да, при $$x\in(0;1).$$

г) $$y=x^3$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$. $$y=x^4$$ убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$