Упр.223 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) Какие значения принимает данная функция, если х > = 0, х < 0? б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте. в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте. г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале (-бесконечность; +бесконечность). д) Постройте в декартовой системе координат точки (х; х3), взяв х от -1,5 до 1,5 через 0,5. е) Постройте в той же системе координат точки (х; х3), взяв х от -0,5 до 0,5 через 0,2. ж) Учитывая непрерывность функции у = х^3, постройте её график. з) Укажите с помощью графика функции у = х^3, при каких х значения функции больше 1; меньше —1.

Дана функция $$y=x^3.$$

1. Если $$x \ge 0,$$ то $$x^3 \ge 0,$$ значит $$y \ge 0.$$

   Если $$x < 0,$$ то $$x^3 < 0,$$ значит $$y < 0.$$

2. При $$x>0$$ и $$y>0$$ точки графика лежат в I четверти, а при $$x<0$$ и $$y<0$$ — в III четверти.

3. Проверим чётность:

   $$y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. Пусть $$x_2>x_1.$$ Тогда

   $$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2).$$

   Так как $$x_2-x_1>0,$$ а $$x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0,$$ то $$x_2^3-x_1^3>0,$$ значит $$x_2^3>x_1^3.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

5. Для построения графика возьмём значения:

   $$x$$	$$-1{,}5$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$1{,}5$$
   $$x^3$$	$$-3{,}375$$	$$-1$$	$$-0{,}125$$	$$0$$	$$0{,}125$$	$$1$$	$$3{,}375$$

   Наносим точки $$(-1{,}5;\,-3{,}375),\,(-1;\,-1),\,(-0{,}5;\,-0{,}125),\,(0;\,0),\,(0{,}5;\,0{,}125),\,(1;\,1),\,(1{,}5;\,3{,}375)$$ и соединяем их плавной линией.

6. Для более точного построения можно взять ещё точки:

   $$x$$	$$-0{,}5$$	$$-0{,}3$$	$$-0{,}1$$	$$0{,}1$$	$$0{,}3$$	$$0{,}5$$
   $$x^3$$	$$-0{,}125$$	$$-0{,}027$$	$$-0{,}001$$	$$0{,}001$$	$$0{,}027$$	$$0{,}125$$

7. График функции $$y=x^3$$ — плавная возрастающая кривая, проходящая через начало координат и симметричная относительно начала координат.

8. По графику:

   $$y>1 \text{ при } x>1,$$

   $$y<-1 \text{ при } x<-1.$$

Ответ

а) при $$x \ge 0$$ имеем $$y \ge 0,$$ при $$x<0$$ имеем $$y<0$$;
б) график расположен в I и III четвертях;
в) функция нечётная;
г) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
д), е) точки приведены в таблицах;
ж) график — кривая $$y=x^3$$;
з) $$y>1$$ при $$x>1,$$ $$y<-1$$ при $$x<-1.$$