Упр.223 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=x^3$$.
а) Какие значения принимает данная функция, если $$x\geq 0$$, $$x<0$$?
б) В каких четвертях расположен график данной функции? Ответ обоснуйте.
в) Является ли данная функция чётной (нечётной)? Ответ обоснуйте.
г) Покажите, что данная функция возрастает на интервале $$(-\infty;+\infty)$$.
д) Постройте в декартовой системе координат точки $$(x;x^3)$$, взяв $$x$$ от $$-1{,}5$$ до $$1{,}5$$ через $$0{,}5$$.
е) Постройте в той же системе координат точки $$(x;x^3)$$, взяв $$x$$ от $$-0{,}5$$ до $$0{,}5$$ через $$0{,}2$$.
ж) Учитывая непрерывность функции $$y=x^3$$, постройте её график.
з) Укажите с помощью графика функции $$y=x^3$$, при каких $$x$$ значения функции больше $$1$$; меньше $$-1$$.
Дана функция $$y=x^3.$$
Если $$x \ge 0,$$ то $$x^3 \ge 0,$$ значит $$y \ge 0.$$
Если $$x < 0,$$ то $$x^3 < 0,$$ значит $$y < 0.$$
При $$x>0$$ и $$y>0$$ точки графика лежат в I четверти, а при $$x<0$$ и $$y<0$$ — в III четверти.
Проверим чётность:
$$y(-x)=(-x)^3=-x^3=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Пусть $$x_2>x_1.$$ Тогда
$$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2).$$
Так как $$x_2-x_1>0,$$ а $$x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0,$$ то $$x_2^3-x_1^3>0,$$ значит $$x_2^3>x_1^3.$$ Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
Для построения графика возьмём значения:
$$x$$ $$-1{,}5$$ $$-1$$ $$-0{,}5$$ $$0$$ $$0{,}5$$ $$1$$ $$1{,}5$$ $$x^3$$ $$-3{,}375$$ $$-1$$ $$-0{,}125$$ $$0$$ $$0{,}125$$ $$1$$ $$3{,}375$$ Наносим точки $$(-1{,}5;\,-3{,}375),\,(-1;\,-1),\,(-0{,}5;\,-0{,}125),\,(0;\,0),\,(0{,}5;\,0{,}125),\,(1;\,1),\,(1{,}5;\,3{,}375)$$ и соединяем их плавной линией.
Для более точного построения можно взять ещё точки:
$$x$$ $$-0{,}5$$ $$-0{,}3$$ $$-0{,}1$$ $$0{,}1$$ $$0{,}3$$ $$0{,}5$$ $$x^3$$ $$-0{,}125$$ $$-0{,}027$$ $$-0{,}001$$ $$0{,}001$$ $$0{,}027$$ $$0{,}125$$ График функции $$y=x^3$$ — плавная возрастающая кривая, проходящая через начало координат и симметричная относительно начала координат.
По графику:
$$y>1 \text{ при } x>1,$$
$$y<-1 \text{ при } x<-1.$$
Ответ
а) при $$x \ge 0$$ имеем $$y \ge 0,$$ при $$x<0$$ имеем $$y<0$$;
б) график расположен в I и III четвертях;
в) функция нечётная;
г) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
д), е) точки приведены в таблицах;
ж) график — кривая $$y=x^3$$;
з) $$y>1$$ при $$x>1,$$ $$y<-1$$ при $$x<-1.$$
