Упр.22 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Решите уравнение (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=3.
3) Решите неравенство (3x+2)/(2x+3) > 4.
4) Упростите выражение (m/(m-6)-2m/(m^2-12m+36))·(36-m^2)/(m-8)+12m/(m-6).

Подробный ответ

Пусть скорость первого поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго поезда равна $$x+12$$ км/ч.
До встречи первый поезд ехал $$\frac{120}{x}$$ ч, а второй — $$\frac{120}{x+12}$$ ч.
Так как второй поезд вышел на $$\frac{1}{2}$$ ч позже, получаем:
$$ \frac{120}{x}=\frac{120}{x+12}+\frac{1}{2} $$
Умножим на $$2x(x+12)$$:
$$ 240(x+12)=240x+x(x+12) $$
$$ 240x+2880=240x+x^2+12x $$
$$ x^2+12x-2880=0 $$
$$ D=12^2+4\cdot 2880=11664 $$
$$ x=\frac{-12\pm 108}{2} $$
Получаем $$x=-60$$ или $$x=48$$. Отрицательная скорость не подходит, значит:
$$ x=48,\qquad x+12=60 $$
Решим уравнение:
$$ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=3 $$
Сгруппируем множители:
$$ (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=3 $$
Пусть $$y=x^2-5x+4$$, тогда $$y+2=x^2-5x+6$$. Получаем:
$$ y(y+2)=3 $$
$$ y^2+2y-3=0 $$
$$ (y+3)(y-1)=0 $$
Значит, $$y=-3$$ или $$y=1$$.
1) Если $$x^2-5x+4=-3$$, то
$$ x^2-5x+7=0 $$
$$ D=25-28=-3<0 $$
Действительных корней нет.
2) Если $$x^2-5x+4=1$$, то
$$ x^2-5x+3=0 $$
$$ D=25-12=13 $$
$$ x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2} $$
Решим неравенство:
$$ \frac{3x+2}{2x+3}>4 $$
Перенесём всё в одну дробь:
$$ \frac{3x+2-4(2x+3)}{2x+3}>0 $$
$$ \frac{-5x-10}{2x+3}>0 $$
$$ \frac{-5(x+2)}{2x+3}>0 $$
Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
$$ \frac{x+2}{2x+3}<0 $$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=-\frac{3}{2}$$.
Дробь отрицательна между ними, значит:
$$ x\in\left(-2;-\frac{3}{2}\right) $$
Упростим выражение:
$$ \left(\frac{m}{m-6}-\frac{2m}{m^2-12m+36}\right)\cdot \frac{36-m^2}{m-8}+\frac{12m}{m-6} $$
Заметим, что $$m^2-12m+36=(m-6)^2$$, а $$36-m^2=-(m-6)(m+6)$$.
Тогда
$$ \frac{m}{m-6}-\frac{2m}{(m-6)^2} =\frac{m(m-6)-2m}{(m-6)^2} =\frac{m(m-8)}{(m-6)^2} $$
Подставим:
$$ \frac{m(m-8)}{(m-6)^2}\cdot \frac{-(m-6)(m+6)}{m-8}+\frac{12m}{m-6} $$
Сократим $$m-8$$ и один множитель $$m-6$$:
$$ -\frac{m(m+6)}{m-6}+\frac{12m}{m-6} $$
$$ \frac{-m^2-6m+12m}{m-6} =\frac{-m^2+6m}{m-6} =\frac{-m(m-6)}{m-6} =-m $$