Упр.22 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Пусть скорость первого поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость второго поезда равна $$x+12$$ км/ч.

   До встречи первый поезд ехал $$\frac{120}{x}$$ ч, а второй — $$\frac{120}{x+12}$$ ч.

   Так как второй поезд вышел на $$\frac{1}{2}$$ ч позже, получаем:

   $$\frac{120}{x}=\frac{120}{x+12}+\frac{1}{2}$$

   Умножим на $$2x(x+12)$$:

   $$240(x+12)=240x+x(x+12)$$

   $$240x+2880=240x+x^2+12x$$

   $$x^2+12x-2880=0$$

   $$D=12^2+4\cdot 2880=11664$$

   $$x=\frac{-12\pm 108}{2}$$

   Получаем $$x=-60$$ или $$x=48$$. Отрицательная скорость не подходит, значит:

   $$x=48,\qquad x+12=60$$

2. Решим уравнение:

   $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=3$$

   Сгруппируем множители:

   $$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=3$$

   Пусть $$y=x^2-5x+4$$, тогда $$y+2=x^2-5x+6$$. Получаем:

   $$y(y+2)=3$$

   $$y^2+2y-3=0$$

   $$(y+3)(y-1)=0$$

   Значит, $$y=-3$$ или $$y=1$$.

   1) Если $$x^2-5x+4=-3$$, то

   $$x^2-5x+7=0$$

   $$D=25-28=-3<0$$

   Действительных корней нет.

   2) Если $$x^2-5x+4=1$$, то

   $$x^2-5x+3=0$$

   $$D=25-12=13$$

   $$x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$$

3. Решим неравенство:

   $$\frac{3x+2}{2x+3}>4$$

   Перенесём всё в одну дробь:

   $$\frac{3x+2-4(2x+3)}{2x+3}>0$$

   $$\frac{-5x-10}{2x+3}>0$$

   $$\frac{-5(x+2)}{2x+3}>0$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

   $$\frac{x+2}{2x+3}<0$$

   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=-\frac{3}{2}$$.

   Дробь отрицательна между ними, значит:

   $$x\in\left(-2;-\frac{3}{2}\right)$$

4. Упростим выражение:

   $$\left(\frac{m}{m-6}-\frac{2m}{m^2-12m+36}\right)\cdot \frac{36-m^2}{m-8}+\frac{12m}{m-6}$$

   Заметим, что $$m^2-12m+36=(m-6)^2$$, а $$36-m^2=-(m-6)(m+6)$$.

   Тогда

   $$\frac{m}{m-6}-\frac{2m}{(m-6)^2} =\frac{m(m-6)-2m}{(m-6)^2} =\frac{m(m-8)}{(m-6)^2}$$

   Подставим:

   $$\frac{m(m-8)}{(m-6)^2}\cdot \frac{-(m-6)(m+6)}{m-8}+\frac{12m}{m-6}$$

   Сократим $$m-8$$ и один множитель $$m-6$$:

   $$-\frac{m(m+6)}{m-6}+\frac{12m}{m-6}$$

   $$\frac{-m^2-6m+12m}{m-6} =\frac{-m^2+6m}{m-6} =\frac{-m(m-6)}{m-6} =-m$$

Ответ

1) $$48$$ км/ч; $$60$$ км/ч. 2) $$\frac{5-\sqrt{13}}{2},\ \frac{5+\sqrt{13}}{2}$$. 3) $$x\in\left(-2;-\frac{3}{2}\right)$$. 4) $$-m$$.