Упр.21 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
2) Решите уравнение (x^2+2x)^2-14(x^2+2x)-15=0.
3) Решите неравенство (x+2)/(1-4x) < 2.
4) Упростите выражение (9x^2-4)/(2x^2-5x+2)·(2-x)/(3x+2)+x/(1-2x).
Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$ имеем:
$$ a_{11}+a_6=22 $$
$$ (a_1+10d)+(a_1+5d)=22 $$
$$ 2a_1+15d=22 $$$$ a_7+a_5=16 $$
$$ (a_1+6d)+(a_1+4d)=16 $$
$$ 2a_1+10d=16 $$Вычтем второе уравнение из первого:
$$ 5d=6,\quad d=1{,}2 $$
Подставим в $$2a_1+10d=16$$:
$$ 2a_1+12=16,\quad 2a_1=4,\quad a_1=2 $$
Положим $$y=x^2+2x$$. Тогда уравнение принимает вид:
$$ y^2-14y-15=0 $$
$$ D=14^2+4\cdot 15=196+60=256 $$
$$ y_{1,2}=\frac{14\pm 16}{2} $$
$$ y_1=-1,\quad y_2=15 $$1) Если $$x^2+2x=-1$$, то
$$ x^2+2x+1=0 $$
$$ (x+1)^2=0,\quad x=-1 $$2) Если $$x^2+2x=15$$, то
$$ x^2+2x-15=0 $$
$$ (x+5)(x-3)=0 $$
$$ x=-5 \text{ или } x=3 $$$$ \frac{x+2}{1-4x}<2 $$ $$ \frac{x+2-2(1-4x)}{1-4x}<0 $$ $$ \frac{9x}{1-4x}<0 $$ $$ \frac{9x}{4x-1}>0 $$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$ x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac14 $$
$$ \frac{9x^2-4}{2x^2-5x+2}\cdot \frac{2-x}{3x+2}+\frac{x}{1-2x} $$
Разложим на множители:
$$ 9x^2-4=(3x-2)(3x+2),\quad 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2),\quad 2-x=-(x-2) $$
Тогда
$$ \frac{(3x-2)(3x+2)}{(2x-1)(x-2)}\cdot \frac{2-x}{3x+2} = \frac{(3x-2)(3x+2)}{(2x-1)(x-2)}\cdot \frac{-(x-2)}{3x+2} = -\frac{3x-2}{2x-1} $$
И всё выражение равно
$$ -\frac{3x-2}{2x-1}+\frac{x}{1-2x} = -\frac{3x-2}{2x-1}-\frac{x}{2x-1} = -\frac{4x-2}{2x-1} = -2 $$
Ответ
1) $$a_1=2,\ d=1{,}2$$
2) $$x=-5,\ -1,\ 3$$
3) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$
4) $$-2$$
