Упр.21 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если $$a_{11}+a_6=22$$, а $$a_7+a_5=16$$.
2. Решите уравнение $$\left(x^2+2x\right)^2-14\left(x^2+2x\right)-15=0$$.
3. Решите неравенство $$\frac{x+2}{1-4x}<2$$.
4. Упростите выражение $$\frac{9x^2-4}{2x^2-5x+2}\cdot\frac{2-x}{3x+2}+\frac{x}{1-2x}$$.

1. Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+(n-1)d$$ имеем:

   $$a_{11}+a_6=22$$
   $$(a_1+10d)+(a_1+5d)=22$$
   $$2a_1+15d=22$$

   $$a_7+a_5=16$$
   $$(a_1+6d)+(a_1+4d)=16$$
   $$2a_1+10d=16$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$5d=6,\quad d=1{,}2$$

   Подставим в $$2a_1+10d=16$$:

   $$2a_1+12=16,\quad 2a_1=4,\quad a_1=2$$

2. Положим $$y=x^2+2x$$. Тогда уравнение принимает вид:

   $$y^2-14y-15=0$$

   $$D=14^2+4\cdot 15=196+60=256$$
   $$y_{1,2}=\frac{14\pm 16}{2}$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=15$$

   1) Если $$x^2+2x=-1$$, то

   $$x^2+2x+1=0$$
   $$(x+1)^2=0,\quad x=-1$$

   2) Если $$x^2+2x=15$$, то

   $$x^2+2x-15=0$$
   $$(x+5)(x-3)=0$$
   $$x=-5 \text{ или } x=3$$

3. $$\frac{x+2}{1-4x}<2$$ $$\frac{x+2-2(1-4x)}{1-4x}<0$$ $$\frac{9x}{1-4x}<0$$ $$\frac{9x}{4x-1}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac14$$

4. $$\frac{9x^2-4}{2x^2-5x+2}\cdot \frac{2-x}{3x+2}+\frac{x}{1-2x}$$

   Разложим на множители:

   $$9x^2-4=(3x-2)(3x+2),\quad 2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2),\quad 2-x=-(x-2)$$

   Тогда

   $$\frac{(3x-2)(3x+2)}{(2x-1)(x-2)}\cdot \frac{2-x}{3x+2} = \frac{(3x-2)(3x+2)}{(2x-1)(x-2)}\cdot \frac{-(x-2)}{3x+2} = -\frac{3x-2}{2x-1}$$

   И всё выражение равно

   $$-\frac{3x-2}{2x-1}+\frac{x}{1-2x} = -\frac{3x-2}{2x-1}-\frac{x}{2x-1} = -\frac{4x-2}{2x-1} = -2$$

Ответ

1) $$a_1=2,\ d=1{,}2$$
2) $$x=-5,\ -1,\ 3$$
3) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$
4) $$-2$$