Упр.205 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $$v_0$$, задаётся формулой $$v(t)=v_0-gt$$, а высота $$H$$ — формулой $$H(t)=H_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}$$, где $$g=9{,}8\ \text{м/с}^2$$ — ускорение земного притяжения, $$H_0$$ — начальная высота.

Докажите, что:

а) функция $$v(t)$$ есть производная функции $$H(t)$$;

б) функция $$H(t)$$ есть первообразная функции $$v(t)$$.

Даны функции

$$v(t)=v_0-gt,$$

$$H(t)=H_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}.$$

Найдём производную функции $$H(t)$$:

$$H'(t)=(H_0)’ + (v_0t)’ — \left(\frac{gt^2}{2}\right)’ = 0 + v_0 — gt = v_0-gt.$$

Но $$v_0-gt=v(t)$$, значит,

$$H'(t)=v(t).$$

Следовательно, функция $$v(t)$$ является производной функции $$H(t)$$.

Теперь найдём первообразную для $$v(t)$$:

$$\int (v_0-gt)\,dt = v_0t-\frac{gt^2}{2}+C.$$

Так как

$$H(t)=H_0+v_0t-\frac{gt^2}{2},$$

то при $$C=H_0$$ получаем

$$\int v(t)\,dt = H(t).$$

Значит, функция $$H(t)$$ является первообразной функции $$v(t)$$.

Ответ

$$H'(t)=v(t),$$ поэтому $$v(t)$$ — производная функции $$H(t)$$; $$H(t)$$ — первообразная функции $$v(t)$$.