Упр.205 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

v(t) = v0- gt, а высота Н — формулой
H(t) = H0 + v0t — gt^2/2,
где g = 9,8 м/с2 — ускорение земного притяжения, Н0 — начальная высота. Докажите, что:
а) функция v(t) есть производная функции Н (t);
б) функция H(t) есть первообразная функции v(t).

Даны функции

$$v(t)=v_0-gt,$$

$$H(t)=H_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}.$$

Найдём производную функции $$H(t)$$:

$$ H'(t)=(H_0)’ + (v_0t)’ — \left(\frac{gt^2}{2}\right)’ = 0 + v_0 — gt = v_0-gt. $$

Но $$v_0-gt=v(t)$$, значит,

$$H'(t)=v(t).$$

Следовательно, функция $$v(t)$$ является производной функции $$H(t)$$.

Теперь найдём первообразную для $$v(t)$$:

$$ \int (v_0-gt)\,dt = v_0t-\frac{gt^2}{2}+C. $$

Так как

$$H(t)=H_0+v_0t-\frac{gt^2}{2},$$

то при $$C=H_0$$ получаем

$$\int v(t)\,dt = H(t).$$

Значит, функция $$H(t)$$ является первообразной функции $$v(t)$$.

Ответ

$$H'(t)=v(t),$$ поэтому $$v(t)$$ — производная функции $$H(t)$$; $$H(t)$$ — первообразная функции $$v(t)$$.