Упр.2 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Упростите выражение ((x^2+9)/(x^2-6x+9)+(x-3)/(3-x)):9/(x^2-9).
3) Постройте график функции у=-2х-2. Определите интервал, на котором функция принимает отрицательные значения.
4) Произведение двух чисел равно 20, а их разность равна 1. Найдите эти числа.

Подробный ответ

Вычислим значение выражения:
$$5\frac{1}{6}+\left(3{,}25+2\frac{1}{6}\right):2{,}6-\frac{2}{3}\cdot 2{,}25$$
$$5\frac{1}{6}=\frac{31}{6},\quad 3{,}25=\frac{13}{4},\quad 2\frac{1}{6}=\frac{13}{6},\quad 2{,}6=\frac{13}{5},\quad 2{,}25=\frac{9}{4}$$
$$\frac{31}{6}+\left(\frac{13}{4}+\frac{13}{6}\right):\frac{13}{5}-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}$$
$$\frac{31}{6}+\frac{65}{12}\cdot\frac{5}{13}-\frac{3}{2}=\frac{31}{6}+\frac{25}{12}-\frac{3}{2}$$
$$\frac{31}{6}-\frac{3}{2}=\frac{31}{6}-\frac{9}{6}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$$
$$\frac{11}{3}+\frac{25}{12}=\frac{44}{12}+\frac{25}{12}=\frac{69}{12}=\frac{23}{4}=5{,}75$$
Упростим выражение:
$$\left(\frac{x^2+9}{x^2-6x+9}+\frac{x-3}{3-x}\right):\frac{9}{x^2-9}$$
Так как $$x^2-6x+9=(x-3)^2,\quad 3-x=-(x-3),\quad x^2-9=(x-3)(x+3),$$ то
$$\frac{x^2+9}{(x-3)^2}+\frac{x-3}{3-x}=\frac{x^2+9}{(x-3)^2}-1=\frac{x^2+9-(x-3)^2}{(x-3)^2}$$
$$x^2+9-(x-3)^2=x^2+9-(x^2-6x+9)=6x$$
Значит,
$$\left(\frac{x^2+9}{x^2-6x+9}+\frac{x-3}{3-x}\right):\frac{9}{x^2-9} =\frac{6x}{(x-3)^2}\cdot\frac{(x-3)(x+3)}{9}$$
$$=\frac{2x(x+3)}{3(x-3)}$$
Функция $$y=-2x-2$$ — линейная. Для построения достаточно двух точек:
при $$x=-1$$ получаем $$y=0$$, при $$x=1$$ получаем $$y=-4$$.
График — прямая, проходящая через точки $$(-1;0)$$ и $$ (1;-4)$$.
Найдём, где функция принимает отрицательные значения:
$$-2x-2<0$$
$$-2x<2$$
$$x>-1$$
Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$ \begin{cases} xy=20,\\ y-x=1 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=x+1$$. Подставим в первое:
$$x(x+1)=20$$
$$x^2+x-20=0$$
$$D=1+80=81$$
$$x=\frac{-1\pm 9}{2}$$
$$x_1=4,\quad x_2=-5$$
Тогда
$$y_1=5,\quad y_2=-4$$