Упр.2 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение суммы $$x^2+y^2$$, если $$(x;\ y)$$ — решение системы уравнений $$\begin{cases}x-3y=a,\\3x-y=a+2.\end{cases}$$ При каком значении $$a$$ достигается это наименьшее значение?

Из системы

$$\begin{cases} x-3y=a,\\ 3x-y=a+2 \end{cases}$$

вычтем первое уравнение из второго:

$$(3x-y)-(x-3y)=a+2-a$$

$$2x+2y=2$$

$$x+y=1,\quad y=1-x.$$

Тогда

$$S=x^2+y^2=x^2+(1-x)^2$$

$$S=2x^2-2x+1.$$

Это квадратный трёхчлен, его наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$x=\frac{-(-2)}{2\cdot 2}=\frac12.$$

Найдём минимальное значение суммы:

$$S_{\min}=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12+1 =\frac12.$$

Теперь найдём соответствующее значение $$a$$:

$$y=1-\frac12=\frac12,$$

$$a=x-3y=\frac12-3\cdot\frac12=-1.$$

Ответ

$$\frac12 \text{ при } a=-1.$$