Упр.2 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 2. Найдите наименьшее значение суммы x^2+y^2, если (х; у) — решение системы уравнений {(x-3y=a, 3x-y=a+2). При каком значении a достигается это наименьшее значение?

Из системы

$$ \begin{cases} x-3y=a,\\ 3x-y=a+2 \end{cases} $$

вычтем первое уравнение из второго:

$$ (3x-y)-(x-3y)=a+2-a $$

$$ 2x+2y=2 $$

$$ x+y=1,\quad y=1-x. $$

Тогда

$$ S=x^2+y^2=x^2+(1-x)^2 $$

$$ S=2x^2-2x+1. $$

Это квадратный трёхчлен, его наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$ x=\frac{-(-2)}{2\cdot 2}=\frac12. $$

Найдём минимальное значение суммы:

$$ S_{\min}=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12+1 =\frac12. $$

Теперь найдём соответствующее значение $a$:

$$ y=1-\frac12=\frac12, $$

$$ a=x-3y=\frac12-3\cdot\frac12=-1. $$

Ответ

$$ \frac12 \text{ при } a=-1. $$