Упр.191 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 191. Задача Евклида (IVв. до н.э.). Докажите, что если а, Ь,с, d — положительные числа и а — наибольшее число в пропорции a/b = c/d, то верно неравенство а + d > b + с. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 191 95

Так как $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ то $$ad=bc.$$

По условию $$a$$ — наибольшее из чисел $$a,b,c,d,$$ значит

$$a>b,\quad a>c,\quad a>d.$$

Из равенства $$ad=bc$$ получаем

$$a+d-(b+c)=\frac{bc}{d}+d-b-c.$$

Умножим на $$d>0$$:

$$d(a+d-b-c)=ad+d^2-bd-cd.$$

Подставим $$ad=bc$$:

$$bc+d^2-bd-cd=(b-d)(c-d).$$

Так как $$a$$ — наибольшее число, то из $$ad=bc$$ следует, что $$d$$ — наименьшее, а значит

$$b-d>0,\quad c-d>0.$$

Следовательно,

$$ (b-d)(c-d)>0, $$

то есть

$$d(a+d-b-c)>0.$$

Поскольку $$d>0,$$ получаем

$$a+d-b-c>0,$$

значит,

$$a+d>b+c.$$

Ответ

$$a+d>b+c.$$