Упр.191 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Задача Евклида (IV в. до н. э.). Докажите, что если $$a,b,c,d$$ — положительные числа и $$a$$ — наибольшее число в пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, то верно неравенство $$a+d>b+c$$.

Так как $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ то $$ad=bc.$$

По условию $$a$$ — наибольшее из чисел $$a,b,c,d,$$ значит

$$a>b,\quad a>c,\quad a>d.$$

Из равенства $$ad=bc$$ получаем

$$a+d-(b+c)=\frac{bc}{d}+d-b-c.$$

Умножим на $$d>0$$:

$$d(a+d-b-c)=ad+d^2-bd-cd.$$

Подставим $$ad=bc$$:

$$bc+d^2-bd-cd=(b-d)(c-d).$$

Так как $$a$$ — наибольшее число, то из $$ad=bc$$ следует, что $$d$$ — наименьшее, а значит

$$b-d>0,\quad c-d>0.$$

Следовательно,

$$(b-d)(c-d)>0,$$

то есть

$$d(a+d-b-c)>0.$$

Поскольку $$d>0,$$ получаем

$$a+d-b-c>0,$$

значит,

$$a+d>b+c.$$

Ответ

$$a+d>b+c.$$