Упр.189 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба гипотенузы;
б) а^n < Ь^n, если n — натуральное число и 0 < а < Ь.

а) Пусть $$a$$ и $$b$$ — катеты прямоугольного треугольника, $$c$$ — гипотенуза. Тогда

$$c^2=a^2+b^2,\quad c>a>0,\quad c>b>0.$$

Так как $$a<c$$ и $$b<c$$, то при умножении на положительные числа $$a^2$$ и $$b^2$$ получаем:

$$a^3<a^2c,\qquad b^3<b^2c.$$

Складывая эти неравенства, имеем

$$a^3+b^3<a^2c+b^2c=c(a^2+b^2)=c\cdot c^2=c^3.$$

Значит,

$$a^3+b^3<c^3.$$

б) Пусть $$n$$ — натуральное число и $$0<a<b$$. Тогда числа положительные, и при возведении неравенства в натуральную степень знак неравенства сохраняется:

$$a^n<b^n.$$

Действительно, можно разделить обе части на $$b^n>0$$:

$$0<\left(\frac{a}{b}\right)^n<1,$$

так как $$0<\frac{a}{b}<1$$. Умножая на $$b^n$$, получаем

$$a^n<b^n.$$

Ответ

а) $$a^3+b^3<c^3$$; б) $$a^n<b^n$$ при $$0<a<b$$ и $$n\in\mathbb{N}$$.