Упр.188 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) |a+b| < =|a|+|b| б) |a-b| < =|a|+|b| в) |(|a|-|b|)| < =|a-b|

1. Докажем неравенство $$|a+b|\le |a|+|b|.$$

   Возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это равносильно:

   $$ |a+b|^2\le (|a|+|b|)^2 $$

   $$ (a+b)^2\le a^2+2|a||b|+b^2 $$

   $$ a^2+2ab+b^2\le a^2+2|ab|+b^2 $$

   $$ 2ab\le 2|ab| $$

   $$ ab\le |ab| $$

   Это верно при любых $a$ и $b$.

2. Докажем неравенство $$|a-b|\le |a|+|b|.$$

   Аналогично, возведём обе части в квадрат:

   $$ |a-b|^2\le (|a|+|b|)^2 $$

   $$ (a-b)^2\le a^2+2|a||b|+b^2 $$

   $$ a^2-2ab+b^2\le a^2+2|ab|+b^2 $$

   $$ -2ab\le 2|ab| $$

   $$ -ab\le |ab| $$

   Неравенство доказано.

3. Докажем неравенство $$\bigl||a|-|b|\bigr|\le |a-b|.$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ \bigl(||a|-|b||\bigr)^2\le |a-b|^2 $$

   $$ (|a|-|b|)^2\le (a-b)^2 $$

   $$ a^2-2|a||b|+b^2\le a^2-2ab+b^2 $$

   $$ -2|ab|\le -2ab $$

   $$ |ab|\ge ab $$

   Это верно при любых $a$ и $b$.

Ответ

Все три неравенства верны.