Упр.187 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) $$a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc$$
2. б) $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$$, $$a>0,\ b>0$$
3. в) $$-\sqrt{2}\leq a+b\leq\sqrt{2}$$, $$a^2+b^2=1$$
4. г) $$9a+\frac{4}{a}\geq 12$$, $$a>0$$

1. а) Преобразуем левую часть:

   $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc =\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\bigr)$$

   $$=\frac12\bigl((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\bigr)\ge 0.$$

   Значит, $$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc.$$

2. б) При $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ рассмотрим разность:

   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}-a-b-c =\frac{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2}{abc}.$$

   Сделаем замену:

   $$ab=x,\quad bc=y,\quad ac=z.$$

   Тогда числитель равен

   $$x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz =\frac12\bigl((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\bigr)\ge 0.$$

   Так как $$abc>0,$$ то

   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c.$$

3. в) Из условия $$a^2+b^2=1$$ получаем:

   $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1+2ab.$$

   По неравенству $$2ab\le a^2+b^2=1,$$ значит

   $$(a+b)^2\le 2,$$

   откуда

   $$|a+b|\le \sqrt2.$$

   Следовательно,

   $$-\sqrt2\le a+b\le \sqrt2.$$

4. г) При $$a>0$$ применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$9a+\frac4a\ge 2\sqrt{9a\cdot \frac4a}=2\sqrt{36}=12.$$

   Значит, $$9a+\frac4a\ge 12.$$

5. д) Аналогично, при $$a>0$$:

   $$25a+\frac4a\ge 2\sqrt{25a\cdot \frac4a}=2\sqrt{100}=20.$$

   Следовательно, $$25a+\frac4a\ge 20.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$$;

б) $$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{bc}{a}\ge a+b+c$$;

в) $$-\sqrt2\le a+b\le \sqrt2$$;

г) $$9a+\dfrac4a\ge 12$$;

д) $$25a+\dfrac4a\ge 20$$.