Упр.187 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) a^2+b^2+c^2 > =ab+ac+bc
б) ab/c+ac/b+bc/a > =a+b+c (a > 0; b > 0)
в)-v2 < =a+b < =v2 (a^2+b^2=1) г) 9a+4/a > =12 (a > 0)

1. а) Преобразуем левую часть:

   $$ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc =\frac12\bigl(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\bigr) $$

   $$ =\frac12\bigl((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\bigr)\ge 0. $$

   Значит, $$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc.$$

2. б) При $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ рассмотрим разность:

   $$ \frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}-a-b-c =\frac{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2}{abc}. $$

   Сделаем замену:

   $$ab=x,\quad bc=y,\quad ac=z.$$

   Тогда числитель равен

   $$ x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz =\frac12\bigl((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\bigr)\ge 0. $$

   Так как $$abc>0,$$ то

   $$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge a+b+c.$$

3. в) Из условия $$a^2+b^2=1$$ получаем:

   $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1+2ab. $$

   По неравенству $$2ab\le a^2+b^2=1,$$ значит

   $$ (a+b)^2\le 2, $$

   откуда

   $$ |a+b|\le \sqrt2. $$

   Следовательно,

   $$-\sqrt2\le a+b\le \sqrt2.$$

4. г) При $$a>0$$ применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$ 9a+\frac4a\ge 2\sqrt{9a\cdot \frac4a}=2\sqrt{36}=12. $$

   Значит, $$9a+\frac4a\ge 12.$$

5. д) Аналогично, при $$a>0$$:

   $$ 25a+\frac4a\ge 2\sqrt{25a\cdot \frac4a}=2\sqrt{100}=20. $$

   Следовательно, $$25a+\frac4a\ge 20.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$$;

б) $$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{bc}{a}\ge a+b+c$$;

в) $$-\sqrt2\le a+b\le \sqrt2$$;

г) $$9a+\dfrac4a\ge 12$$;

д) $$25a+\dfrac4a\ge 20$$.