Упр.186 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}$$ ($$a>0$$; $$b>0$$);
   б) $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq4$$ ($$a>0$$; $$b>0$$);
   в) $$(1+a)\left(1+\frac{1}{a}\right)\geq4$$ ($$a>0$$);
   г) $$2a^2+b^2+c^2\geq2a(b+c)$$;
   д) $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$ ($$a>0$$; $$b>0$$);
   е) $$(a^2-b^2)^2\geq4ab(a-b)^2$$.

1. $$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}, \quad a>0,\ b>0.$$

   По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$

   Так как $$a+b>0,$$ то

   $$\frac{2ab}{a+b}\le \frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}.$$

2. $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4,\quad a>0,\ b>0.$$

   Имеем:

   $$a+b\ge 2\sqrt{ab}, \qquad \frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}\ge \frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{2}{\sqrt{ab}}.$$

   Тогда

   $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 2\sqrt{ab}\cdot \frac{2}{\sqrt{ab}}=4.$$

3. $$\left(1+a\right)\left(1+\frac1a\right)\ge 4,\quad a>0.$$

   По неравенству AM-GM:

   $$1+a\ge 2\sqrt{a}, \qquad 1+\frac1a\ge 2\sqrt{\frac1a}.$$

   Следовательно,

   $$\left(1+a\right)\left(1+\frac1a\right)\ge 2\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{\frac1a}=4.$$

4. $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\ge 0.$$

   Сгруппируем:

   $$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge 0,$$

   то есть

   $$\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge 0.$$

5. $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac1a+\frac1b,\quad a>0,\ b>0.$$

   Перенесём правую часть влево и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\frac1a-\frac1b\ge 0,$$

   $$\frac{a^3+b^3-ab^2-a^2b}{a^2b^2}\ge 0.$$

   Числитель разложим на множители:

   $$a^3+b^3-ab^2-a^2b=(a-b)\left(a^2-b^2\right)=(a-b)^2(a+b).$$

   Тогда

   $$\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}\ge 0.$$

6. $$\left(a^2-b^2\right)^2\ge 4ab\left(a-b\right)^2.$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\left(a^2-b^2\right)^2=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2.$$

   Тогда неравенство равносильно:

   $$\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2\ge 4ab\left(a-b\right)^2,$$

   $$\left(a-b\right)^2\left(\left(a+b\right)^2-4ab\right)\ge 0,$$

   $$\left(a-b\right)^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge 0,$$

   $$\left(a-b\right)^4\ge 0.$$

Ответ

Все неравенства доказаны.