Упр.185 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

185. Докажите неравенство, где $$a,b,c$$ — действительные числа:

     а) $$ac^2+1\geq4c$$;

     б) $$a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$$;

     в) $$(a+b)^2\geq4ab$$;

     г) $$a+\frac{1}{a}\leq-2$$;

     д) $$a^2+\frac{1}{a^2}\geq2$$;

     е) $$\frac{2a}{a^2+1}\leq1$$;

     ж) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$$.

1. а) $$4c^2-4c+1\ge 0$$

   $$\left(2c-1\right)^2\ge 0$$

   Следовательно, $$4c^2+1\ge 4c$$.

2. б) $$a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge 0$$

   $$a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)^2(a+b)\ge 0$$

   Так как $$a+b\ge 0$$, то неравенство верно.

3. в) $$a^2+2ab+b^2-4ab\ge 0$$

   $$a^2-2ab+b^2\ge 0$$

   $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$

   Следовательно, $$\left(a+b\right)^2\ge 4ab$$.

4. г) $$a+\frac{1}{a}\le -2 \qquad (a<0)$$

   $$a+\frac{1}{a}+2\le 0$$

   $$\frac{a^2+2a+1}{a}\le 0$$

   $$\frac{(a+1)^2}{a}\le 0$$

   Так как $$a<0$$, а $$\left(a+1\right)^2\ge 0$$, неравенство доказано.

5. д) $$a^2+\frac{1}{a^2}\ge 2 \qquad (a\ne 0)$$

   $$a^2+\frac{1}{a^2}-2\ge 0$$

   $$\frac{a^4-2a^2+1}{a^2}\ge 0$$

   $$\frac{(a^2-1)^2}{a^2}\ge 0$$

   Так как $$a^2>0$$, неравенство верно.

6. е) $$\frac{2a}{a^2+1}\le 1$$

   $$1-\frac{2a}{a^2+1}\ge 0$$

   $$\frac{a^2+1-2a}{a^2+1}\ge 0$$

   $$\frac{(a-1)^2}{a^2+1}\ge 0$$

   Так как $$a^2+1>0$$, неравенство доказано.

7. ж) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \qquad (ab>0)$$

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0$$

   $$\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge 0$$

   $$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0$$

   Так как $$ab>0$$, неравенство верно.

8. з) $$\frac{9}{a^2}+\frac{a^2}{25}\ge \frac{6}{5} \qquad (a\ne 0)$$

   $$\frac{9}{a^2}+\frac{a^2}{25}-\frac{6}{5}\ge 0$$

   $$\frac{225+a^4-30a^2}{25a^2}\ge 0$$

   $$\frac{(a^2-15)^2}{25a^2}\ge 0$$

   Так как $$25a^2>0$$, неравенство доказано.

Ответ

Все неравенства доказаны.