Упр.184 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- 9. Решите систему неравенств:
а) $$x^2-3|x|+2>0$$
$$\frac{10}{3-|x|}>0$$
б) $$x^2-5|x|+4>0$$
$$\frac{11}{5-|x|}>0$$
в) $$\frac{|x|-1}{|x|+2}>0$$
$$\frac{|x|-3}{|x|+4}<0$$
г) $$\frac{|x|+1}{|x|-4}>0$$
$$\frac{|x|-5}{|x|+0,1}<0$$
д) $$x^2+x+\frac{2}{x^2+x}\geq 3$$
$$(x^2+x)^2-7\cdot(x^2+x)+6\leq 0$$
е) $$(x-2)^2+\frac{3}{(x-2)^2}\geq 4$$
$$(x-2)^4-5\cdot(x-2)^2+4\leq 0$$
а)
$$x^2-3|x|+2>0$$
$$t=|x|,\quad t\ge 0$$
$$t^2-3t+2>0$$
$$(t-1)(t-2)>0$$
$$t<1 \text{ или } t>2$$
$$\frac{10}{3-|x|}>0 \;\Rightarrow\; 3-|x|>0 \;\Rightarrow\; |x|<3$$
$$-3<x<3$$
Пересечение даёт:
$$x\in(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;3)$$б)
$$x^2-5|x|+4>0$$
$$t=|x|,\quad t\ge 0$$
$$t^2-5t+4>0$$
$$(t-1)(t-4)>0$$
$$t<1 \text{ или } t>4$$
$$\frac{11}{5-|x|}>0 \;\Rightarrow\; |x|<5$$
$$-5<x<5$$
Тогда
$$x\in(-5;-4)\cup(-1;1)\cup(4;5)$$в)
$$\frac{|x|-1}{|x|+2}>0$$
Так как $$|x|+2>0$$ при любых $$x$$, то
$$|x|-1>0 \;\Rightarrow\; |x|>1$$
$$\frac{|x|-3}{|x|+4}<0$$
Так как $$|x|+4>0$$ при любых $$x$$, то
$$|x|-3<0 \;\Rightarrow\; |x|<3$$
Следовательно,
$$1<|x|<3$$
$$x\in(-3;-1)\cup(1;3)$$г)
$$\frac{|x|+1}{|x|-4}>0$$
Числитель всегда положителен, значит
$$|x|-4>0 \;\Rightarrow\; |x|>4$$
$$\frac{|x|-5}{|x|+0{,}1}<0$$
Так как $$|x|+0{,}1>0$$, то
$$|x|-5<0 \;\Rightarrow\; |x|<5$$
Тогда
$$4<|x|<5$$
$$x\in(-5;-4)\cup(4;5)$$д)
Обозначим $$t=x^2+x$$. Тогда система принимает вид
$$t+\frac{2}{t}\ge 3$$
$$t^2-7t+6\le 0$$
Из первого неравенства:
$$t^2-3t+2\ge 0$$
$$(t-1)(t-2)\ge 0$$
$$t\le 1 \text{ или } t\ge 2$$
Из второго:
$$(t-1)(t-6)\le 0$$
$$1\le t\le 6$$
Значит,
$$t=1 \text{ или } 2\le t\le 6$$
Теперь возвращаемся к $$x$$:
$$x^2+x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
$$x^2+x\ge 2 \;\Rightarrow\; x\le -2 \text{ или } x\ge 1$$
$$x^2+x\le 6 \;\Rightarrow\; -3\le x\le 2$$
Пересечение даёт
$$x\in[-3;-2]\cup\left[\frac{-1-\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right]\cup[1;2]$$е)
Обозначим $$t=(x-2)^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и система имеет вид
$$t+\frac{3}{t}\ge 4$$
$$t^2-5t+4\le 0$$
Из первого неравенства:
$$t^2-4t+3\ge 0$$
$$(t-1)(t-3)\ge 0$$
$$t\le 1 \text{ или } t\ge 3$$
Из второго:
$$(t-1)(t-4)\le 0$$
$$1\le t\le 4$$
Следовательно,
$$t=1 \text{ или } 3\le t\le 4$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$(x-2)^2=1 \;\Rightarrow\; x=1 \text{ или } x=3$$
$$(x-2)^2\ge 3 \;\Rightarrow\; x\le 2-\sqrt3 \text{ или } x\ge 2+\sqrt3$$
$$(x-2)^2\le 4 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 4$$
Тогда
$$x\in[0;2-\sqrt3]\cup\{1;3\}\cup[2+\sqrt3;4]$$
Ответ
а) $$x\in(-3;-2)\cup(-1;1)\cup(2;3)$$; б) $$x\in(-5;-4)\cup(-1;1)\cup(4;5)$$; в) $$x\in(-3;-1)\cup(1;3)$$; г) $$x\in(-5;-4)\cup(4;5)$$; д) $$x\in[-3;-2]\cup\left[\frac{-1-\sqrt5}{2};\frac{-1+\sqrt5}{2}\right]\cup[1;2]$$; е) $$x\in[0;2-\sqrt3]\cup\{1;3\}\cup[2+\sqrt3;4]$$.
