Упр.183 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) x^2-10x+37-7•|x-5| > 0
б) x^2+14x+57-6•|x+7| < 0 в) 3x^2+12x+14-5•|x+2| < =0

1. а) $$x^2-10x+37-7|x-5|>0$$

   $$x^2-10x+25+12-7|x-5|>0$$

   $$\left(x-5\right)^2-7|x-5|+12>0$$

   Пусть $$y=|x-5|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

   $$y^2-7y+12>0$$

   $$\left(y-3\right)\left(y-4\right)>0,$$

   откуда $$y<3$$ или $$y>4.$$

   1) $$|x-5|<3 \Rightarrow -3<x-5<3 \Rightarrow 2<x<8.$$

   2) $$|x-5|>4 \Rightarrow x-5<-4 \text{ или } x-5>4 \Rightarrow x<1 \text{ или } x>9.$$

   Итак, $$x\in(-\infty;1)\cup(2;8)\cup(9;+\infty).$$

2. б) $$x^2+14x+57-6|x+7|<0$$

   $$x^2+14x+49+8-6|x+7|<0$$

   $$\left(x+7\right)^2-6|x+7|+8<0$$

   Пусть $$y=|x+7|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

   $$y^2-6y+8<0$$

   $$\left(y-2\right)\left(y-4\right)<0,$$

   значит, $$2<y<4.$$

   То есть

   $$2<|x+7|<4.$$

   Отсюда

   $$x+7<-2 \text{ или } x+7>2,$$

   и одновременно

   $$x+7>-4 \text{ или } x+7<4.$$

   Получаем

   $$x\in(-12;-8)\cup(-6;-2).$$

3. в) $$3x^2+12x+14-5|x+2|\le 0$$

   $$3x^2+12x+12+2-5|x+2|\le 0$$

   $$3\left(x+2\right)^2-5|x+2|+2\le 0$$

   Пусть $$y=|x+2|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

   $$3y^2-5y+2\le 0$$

   $$\left(3y-2\right)\left(y-1\right)\le 0,$$

   откуда $$\frac{2}{3}\le y\le 1.$$

   Значит,

   $$\frac{2}{3}\le |x+2|\le 1.$$

   Тогда

   $$|x+2|\ge \frac{2}{3}\Rightarrow x\le -\frac{8}{3}\ \text{или}\ x\ge -\frac{4}{3},$$

   $$|x+2|\le 1\Rightarrow -3\le x\le -1.$$

   Пересечение даёт

   $$x\in\left[-3;-\frac{8}{3}\right]\cup\left[-\frac{4}{3};-1\right].$$

4. г) $$2x^2-12x+23-7|x-3|\ge 0$$

   $$2x^2-12x+18+5-7|x-3|\ge 0$$

   $$2\left(x-3\right)^2-7|x-3|+5\ge 0$$

   Пусть $$y=|x-3|,\quad y\ge 0.$$ Тогда

   $$2y^2-7y+5\ge 0$$

   $$\left(2y-5\right)\left(y-1\right)\ge 0,$$

   откуда $$y\le 1$$ или $$y\ge \frac{5}{2}.$$

   То есть

   $$|x-3|\le 1 \Rightarrow 2\le x\le 4,$$

   $$|x-3|\ge \frac{5}{2} \Rightarrow x\le \frac{1}{2}\ \text{или}\ x\ge \frac{11}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;\tfrac{1}{2}]\cup[2;4]\cup[\tfrac{11}{2};+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1)\cup(2;8)\cup(9;+\infty);$$ б) $$x\in(-12;-8)\cup(-6;-2);$$ в) $$x\in\left[-3;-\frac{8}{3}\right]\cup\left[-\frac{4}{3};-1\right];$$ г) $$x\in(-\infty;\tfrac{1}{2}]\cup[2;4]\cup[\tfrac{11}{2};+\infty).$$