Упр.180 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) (x^2+6x+5)^2-2•(x^2+6x+5)-15 < 0
б) (x^2-6x+7)^2-9•(x^2-6x+7)+14 > =0
в) (x^2+4x+2)^2-6•(x^2+4x+2)-7 > 0
г) (x^2+4x+1)^2-7•(x^2+4x+1)+6 < =0
а) Введём замену $$y=x^2+6x+5.$$ Тогда
$$y^2-2y-15<0.$$
Разложим на множители:
$$y^2-2y-15=(y+3)(y-5),$$
откуда
$$-3<y<5.$$
Теперь решим систему:
$$-3<x^2+6x+5<5.$$
1) $$x^2+6x+5>-3,$$ то есть $$x^2+6x+8>0,$$
$$x^2+6x+8=(x+4)(x+2)>0,$$
откуда $$x<-4$$ или $$x>-2.$$
2) $$x^2+6x+5<5,$$ то есть $$x^2+6x<0,$$
$$x(x+6)<0,$$
откуда $$-6<x<0.$$
Пересечение решений:
$$x\in(-6;-4)\cup(-2;0).$$
б) Введём замену $$y=x^2-6x+7.$$ Тогда
$$y^2-9y+14\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$y^2-9y+14=(y-2)(y-7)\ge 0,$$
откуда $$y\le 2$$ или $$y\ge 7.$$
Решим два неравенства:
1) $$x^2-6x+7\le 2,$$ то есть $$x^2-6x+5\le 0,$$
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\le 0,$$
откуда $$1\le x\le 5.$$
2) $$x^2-6x+7\ge 7,$$ то есть $$x^2-6x\ge 0,$$
$$x(x-6)\ge 0,$$
откуда $$x\le 0$$ или $$x\ge 6.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;0]\cup[1;5]\cup[6;+\infty).$$
в) Введём замену $$y=x^2+4x+2.$$ Тогда
$$y^2-6y-7>0.$$
Разложим на множители:
$$y^2-6y-7=(y+1)(y-7)>0,$$
откуда $$y<-1$$ или $$y>7.$$
1) $$x^2+4x+2<-1,$$ то есть $$x^2+4x+3<0,$$
$$x^2+4x+3=(x+3)(x+1)<0,$$
откуда $$-3<x<-1.$$
2) $$x^2+4x+2>7,$$ то есть $$x^2+4x-5>0,$$
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)>0,$$
откуда $$x<-5$$ или $$x>1.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(-3;-1)\cup(1;+\infty).$$
г) Введём замену $$y=x^2+4x+1.$$ Тогда
$$y^2-7y+6\le 0.$$
Разложим на множители:
$$y^2-7y+6=(y-1)(y-6)\le 0,$$
откуда $$1\le y\le 6.$$
1) $$x^2+4x+1\ge 1,$$ то есть $$x^2+4x\ge 0,$$
$$x(x+4)\ge 0,$$
откуда $$x\le -4$$ или $$x\ge 0.$$
2) $$x^2+4x+1\le 6,$$ то есть $$x^2+4x-5\le 0,$$
$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\le 0,$$
откуда $$-5\le x\le 1.$$
Пересечение решений:
$$x\in[-5;-4]\cup[0;1].$$
Ответ
а) $$x\in(-6;-4)\cup(-2;0);$$ б) $$x\in(-\infty;0]\cup[1;5]\cup[6;+\infty);$$ в) $$x\in(-\infty;-5)\cup(-3;-1)\cup(1;+\infty);$$ г) $$x\in[-5;-4]\cup[0;1].$$
