Упр.179 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
179.
а) (x-3)^4-5•(x-3)^2+4 < 0
б) (x+1)^4-13•(x+1)^2+36 < =0
в) (x+1)^4-5•(x+1)^2+4 > =0
г) (x-3)^4-10•(x-3)^2+9 > 0
а) Сделаем замену: $$y=(x-3)^2,\quad y\ge 0.$$ Тогда
$$y^2-5y+4<0$$
$$y^2-5y+4=(y-1)(y-4).$$
Получаем:
$$1<y<4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$1<(x-3)^2<4.$$
Отсюда
$$|x-3|>1 \quad \text{и} \quad |x-3|<2.$$
Значит,
$$x<2 \ \text{или}\ x>4,$$
и одновременно
$$1<x<5.$$
Следовательно,
$$x\in(1;2)\cup(4;5).$$
б) Сделаем замену: $$y=(x+1)^2,\quad y\ge 0.$$ Тогда
$$y^2-13y+36\le 0$$
$$y^2-13y+36=(y-4)(y-9).$$
Получаем:
$$4\le y\le 9.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$4\le (x+1)^2\le 9.$$
Отсюда
$$|x+1|\ge 2 \quad \text{и} \quad |x+1|\le 3.$$
Значит,
$$x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 1,$$
и одновременно
$$-4\le x\le 2.$$
Следовательно,
$$x\in[-4;-3]\cup[1;2].$$
в) Сделаем замену: $$y=(x+1)^2,\quad y\ge 0.$$ Тогда
$$y^2-5y+4\ge 0$$
$$y^2-5y+4=(y-1)(y-4).$$
Получаем:
$$y\le 1 \ \text{или}\ y\ge 4.$$
Так как $$y=(x+1)^2\ge 0,$$ то
$$0\le (x+1)^2\le 1 \quad \text{или} \quad (x+1)^2\ge 4.$$
Из первого неравенства:
$$-1\le x+1\le 1,$$
то есть
$$-2\le x\le 0.$$
Из второго неравенства:
$$x+1\le -2 \ \text{или}\ x+1\ge 2,$$
то есть
$$x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 1.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-3]\cup[-2;0]\cup[1;+\infty).$$
г) Сделаем замену: $$y=(x-3)^2,\quad y\ge 0.$$ Тогда
$$y^2-10y+9>0$$
$$y^2-10y+9=(y-1)(y-9).$$
Получаем:
$$y<1 \ \text{или}\ y>9.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$0\le (x-3)^2<1 \quad \text{или} \quad (x-3)^2>9.$$
Из первого неравенства:
$$|x-3|<1,$$
то есть
$$2<x<4.$$
Из второго неравенства:
$$|x-3|>3,$$
то есть
$$x<0 \ \text{или}\ x>6.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup(2;4)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(1;2)\cup(4;5);$$ б) $$x\in[-4;-3]\cup[1;2];$$ в) $$x\in(-\infty;-3]\cup[-2;0]\cup[1;+\infty);$$ г) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;4)\cup(6;+\infty).$$
