Упр.178 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) (x-3)/(x^2-9) < =0
(x^2-4)/(x+2) > =0
б) (x+1)/(x^2-1) > =0
(x^2-16)/(x-4) > =0
в) (x^2-5x+6)/(2x^2-3x+1) < =0
x^2-4 < =0
г) (x-3)^2/(3x^2-5x+2) < =0
x(x-4) < =0
д) (x+1)(x^2-x-6) > =0
(x-1)(x^2-5x+6) < =0
(x+3)(x^2-4) > =0
е) (x+1)(x^2+8x+15) < =0
(x+2)(x^2+10x+24) > =0
(x+3)(x^2+9x+20) > =0
а) Рассмотрим систему неравенств:
$$\frac{x-3}{x^2-9}\le 0,\qquad \frac{x^2-4}{x+2}\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{1}{x+3},\qquad x\ne 3,-3.$$
Тогда
$$\frac{1}{x+3}\le 0 \;\Rightarrow\; x<-3.$$
Второе неравенство:
$$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2,\qquad x\ne -2.$$
Тогда
$$x-2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 2.$$
Общих значений нет, значит, система не имеет решений.
б) Рассмотрим систему:
$$\frac{x+1}{x^2-1}\ge 0,\qquad \frac{x^2-16}{x-4}\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1},\qquad x\ne -1,1.$$
Тогда
$$\frac{1}{x-1}\ge 0 \;\Rightarrow\; x>1.$$
Второе неравенство:
$$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4,\qquad x\ne 4.$$
Тогда
$$x+4\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -4,\qquad x\ne 4.$$
Пересечение решений:
$$x\in (1;4)\cup(4;+\infty).$$
в) Рассмотрим систему:
$$\frac{x^2-5x+6}{2x^2-3x+1}\le 0,\qquad x^2-4\le 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$
$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1).$$
Тогда
$$\frac{(x-2)(x-3)}{(2x-1)(x-1)}\le 0.$$
Критические точки: $$x=\frac12,\;1,\;2,\;3.$$
По знакам получаем:
$$x\in \left(\frac12;1\right)\cup[2;3].$$
Второе неравенство:
$$x^2-4\le 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$
Пересечение:
$$x\in \left(\frac12;1\right)\cup\{2\}.$$
г) Рассмотрим систему:
$$\frac{(x-3)^2}{3x^2-5x+2}\le 0,\qquad x(x-4)\le 0.$$
Разложим знаменатель:
$$3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1).$$
Тогда
$$\frac{(x-3)^2}{(3x-2)(x-1)}\le 0.$$
Так как числитель $$ (x-3)^2\ge 0 $$, то неравенство выполняется при отрицательном знаменателе или при равенстве нулю числителя:
$$x\in \left(\frac23;1\right)\cup\{3\}.$$
Второе неравенство:
$$x(x-4)\le 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 4.$$
Пересечение:
$$x\in \left(\frac23;1\right)\cup\{3\}.$$
д) Рассмотрим систему:
$$ (x+1)(x^2-x-6)\ge 0,\qquad (x-1)(x^2-5x+6)\le 0,\qquad (x+3)(x^2-4)\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2),$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$
$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$
Тогда получаем:
$$ (x+1)(x-3)(x+2)\ge 0,$$
$$ (x-1)(x-2)(x-3)\le 0,$$
$$ (x+3)(x-2)(x+2)\ge 0.$$
Решение первой системы даёт $$x\in[-2;-1]\cup[3;+\infty),$$ второй — $$x\in(-\infty;1]\cup[2;3],$$ третьей — $$x\in[-3;-2]\cup[2;+\infty).$$
Пересечение всех трёх множеств:
$$x\in\{-2;3\}.$$
е) Рассмотрим систему:
$$ (x+1)(x^2+8x+15)\le 0,\qquad (x+2)(x^2+10x+24)\ge 0,\qquad (x+3)(x^2+9x+20)\ge 0.$$
Разложим квадратные трёхчлены:
$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5),$$
$$x^2+10x+24=(x+4)(x+6),$$
$$x^2+9x+20=(x+4)(x+5).$$
Тогда:
$$ (x+1)(x+3)(x+5)\le 0,$$
$$ (x+2)(x+4)(x+6)\ge 0,$$
$$ (x+3)(x+4)(x+5)\ge 0.$$
По знакам получаем:
$$x\in[-5;-3]\cup[-1;+\infty),$$
$$x\in[-6;-4]\cup[-2;+\infty),$$
$$x\in[-5;-4]\cup[-3;+\infty).$$
Пересечение всех трёх множеств:
$$x\in\{-5\}\cup[-2;-1].$$
Ответ
а) нет решений; б) $$x\in(1;4)\cup(4;+\infty)$$; в) $$x\in\left(\frac12;1\right)\cup\{2\}$$; г) $$x\in\left(\frac23;1\right)\cup\{3\}$$; д) $$x\in\{-2;3\}$$; е) $$x\in\{-5\}\cup[-2;-1]$$.
