Упр.175 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) |x^2-6x+7| > =2
б) |x^2-9x+19| < =1 в) 2 < =|x^2-2x-1| < 7 г) 3 < |2x^2-8x+3| < =13

Подробный ответ

а) $$|x^2-6x+7|\ge 2$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-6x+7\le -2 \quad \text{или} \quad x^2-6x+7\ge 2.$$
1) $$x^2-6x+9\le 0$$
$$\left(x-3\right)^2\le 0,$$
откуда $$x=3.$$
2) $$x^2-6x+5\ge 0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)\ge 0,$$
значит, $$x\le 1$$ или $$x\ge 5.$$
Итак, $$x\in(-\infty;1]\cup\{3\}\cup[5;+\infty).$$
б) $$|x^2-9x+19|\le 1$$
$$-1\le x^2-9x+19\le 1.$$
1) $$x^2-9x+19\ge -1$$
$$x^2-9x+20\ge 0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x-5\right)\ge 0,$$
значит, $$x\le 4$$ или $$x\ge 5.$$
2) $$x^2-9x+19\le 1$$
$$x^2-9x+18\le 0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x-6\right)\le 0,$$
значит, $$3\le x\le 6.$$
Пересечение решений:
$$x\in[3;4]\cup[5;6].$$
в) $$2\le |x^2-2x-1|<7$$
Это равносильно системе:
$$|x^2-2x-1|\ge 2,$$
$$|x^2-2x-1|<7.$$
1) $$x^2-2x-1\le -2$$
$$x^2-2x+1\le 0,$$
$$\left(x-1\right)^2\le 0,$$
откуда $$x=1.$$
2) $$x^2-2x-1\ge 2$$
$$x^2-2x-3\ge 0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\ge 0,$$
значит, $$x\le -1$$ или $$x\ge 3.$$
3) $$x^2-2x-1>-7$$
$$x^2-2x+6>0.$$
Так как $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=-20<0,$$ то $$x^2-2x+6>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
4) $$x^2-2x-1<7$$
$$x^2-2x-8<0,$$
$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)<0,$$
значит, $$-2<x<4.$$
Итак, $$x\in(-2;-1]\cup\{1\}\cup[3;4).$$
г) $$3<|2x^2-8x+3|\le 13$$
Это равносильно системе:
$$|2x^2-8x+3|>3,$$
$$|2x^2-8x+3|\le 13.$$
1) $$2x^2-8x+3<-3$$
$$2x^2-8x+6<0,$$
$$x^2-4x+3<0,$$
$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)<0,$$
значит, $$1<x<3.$$
2) $$2x^2-8x+3>3$$
$$2x^2-8x>0,$$
$$2x\left(x-4\right)>0,$$
значит, $$x<0$$ или $$x>4.$$
3) $$2x^2-8x+3\ge -13$$
$$2x^2-8x+16\ge 0,$$
$$x^2-4x+8\ge 0.$$
Так как $$D=16-32=-16<0,$$ а старший коэффициент положителен, то неравенство верно при всех $$x\in\mathbb R.$$
4) $$2x^2-8x+3\le 13$$
$$2x^2-8x-10\le 0,$$
$$x^2-4x-5\le 0,$$
$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)\le 0,$$
значит, $$-1\le x\le 5.$$
Пересечение полученных множеств:
$$x\in[-1;0)\cup(1;3)\cup(4;5].$$