Упр.174 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) 1 < =|x-2| < =4 б) 5 < =|x-3| < =7 в) 1 < |x+2| < =3 г) 3 < =|x+4| < 5
а) $$1 \le |x-2| \le 4$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} |x-2| \ge 1,\\ |x-2| \le 4. \end{cases} $$
Из $$|x-2| \ge 1$$ получаем:
$$x-2 \le -1 \quad \text{или} \quad x-2 \ge 1,$$
то есть
$$x \le 1 \quad \text{или} \quad x \ge 3.$$
Из $$|x-2| \le 4$$ получаем:
$$-4 \le x-2 \le 4,$$
откуда
$$-2 \le x \le 6.$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$x \in [-2;1] \cup [3;6].$$
б) $$5 \le |x-3| \le 7$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} |x-3| \ge 5,\\ |x-3| \le 7. \end{cases} $$
Из $$|x-3| \ge 5$$ получаем:
$$x-3 \le -5 \quad \text{или} \quad x-3 \ge 5,$$
то есть
$$x \le -2 \quad \text{или} \quad x \ge 8.$$
Из $$|x-3| \le 7$$ получаем:
$$-7 \le x-3 \le 7,$$
откуда
$$-4 \le x \le 10.$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$x \in [-4;-2] \cup [8;10].$$
в) $$1 < |x+2| \le 3$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} |x+2| > 1,\\ |x+2| \le 3. \end{cases} $$
Из $$|x+2| > 1$$ получаем:
$$x+2 < -1 \quad \text{или} \quad x+2 > 1,$$
то есть
$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > -1.$$
Из $$|x+2| \le 3$$ получаем:
$$-3 \le x+2 \le 3,$$
откуда
$$-5 \le x \le 1.$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$x \in [-5;-3) \cup (-1;1].$$
г) $$3 \le |x+4| < 5$$
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} |x+4| \ge 3,\\ |x+4| < 5. \end{cases} $$
Из $$|x+4| \ge 3$$ получаем:
$$x+4 \le -3 \quad \text{или} \quad x+4 \ge 3,$$
то есть
$$x \le -7 \quad \text{или} \quad x \ge -1.$$
Из $$|x+4| < 5$$ получаем:
$$-5 < x+4 < 5,$$
откуда
$$-9 < x < 1.$$
Пересекаем полученные промежутки:
$$x \in (-9;-7] \cup [-1;1).$$
Ответ
а) $$x \in [-2;1] \cup [3;6]$$; б) $$x \in [-4;-2] \cup [8;10]$$; в) $$x \in [-5;-3) \cup (-1;1]$$; г) $$x \in (-9;-7] \cup [-1;1)$$.
