Упр.172 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (x^2-4x+3)/(x^2-9) > =0
б) (x^2-7x+10)/(25-x^2 ) > =0
в) 1-x > = 1/(x-3)
г) 5/x-4 < = (2x+3)/(x-1)

1. $$\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}\ge 0$$
   
   Разложим на множители:
   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3), \qquad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
   Тогда
   $$\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\ge 0,$$
   $$\frac{x-1}{x+3}\ge 0,\qquad x\ne -3,\; x\ne 3.$$
   По знакам дроби получаем:
   $$x\in(-\infty;-3)\cup[1;3)\cup(3;+\infty).$$
2. $$\frac{x^2-7x+10}{25-x^2}\ge 0$$
   
   Разложим на множители:
   $$x^2-7x+10=(x-2)(x-5), \qquad 25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5).$$
   Тогда
   $$\frac{(x-2)(x-5)}{25-x^2}\ge 0,$$
   $$\frac{(x-2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)}\ge 0,$$
   $$\frac{x-2}{x+5}\le 0,\qquad x\ne -5,\; x\ne 5.$$
   Отсюда
   $$x\in(-5;2].$$
3. $$1-x\ge \frac{1}{x-3}$$
   
   Область определения: $$x\ne 3.$$
   Приведём к одной дроби:
   $$1-x-\frac{1}{x-3}\ge 0,$$
   $$\frac{(1-x)(x-3)-1}{x-3}\ge 0,$$
   $$\frac{-x^2+4x-4}{x-3}\ge 0,$$
   $$\frac{-(x-2)^2}{x-3}\ge 0,$$
   $$\frac{(x-2)^2}{x-3}\le 0.$$
   Так как $$ (x-2)^2\ge 0, $$ то неравенство выполняется при
   $$x<3,$$ причём $$x=2$$ подходит. Следовательно, $$x\in(-\infty;3).$$
4. $$\frac{5}{x}-4\le \frac{2x+3}{x-1}$$
   
   Область определения: $$x\ne 0,\; x\ne 1.$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{5}{x}-4-\frac{2x+3}{x-1}\le 0.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{5(x-1)-4x(x-1)-x(2x+3)}{x(x-1)}\le 0,$$
   $$\frac{-6x^2+6x-5}{x(x-1)}\le 0,$$
   $$\frac{6x^2-6x+5}{x(x-1)}\ge 0.$$
   Числитель всегда положителен, так как
   $$D=(-6)^2-4\cdot 6\cdot 5=36-120=-84<0,$$ а старший коэффициент положителен. Значит, нужно решить $$x(x-1)>0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-3)\cup[1;3)\cup(3;+\infty)$$;
б) $$(-5;2]$$;
в) $$(-\infty;3)$$;
г) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$.