Упр.170 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (x^2-1)(x+3) > =0
б) (7-x)(4-x^2) < =0 в) (15-5x)(x^2-4x+4) > =0
г) (x^2-5x+6)(x-3) < =0

1. а) $$\left(x^2-1\right)(x+3)\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)\ge 0$$

   Нули: $$x=-3,\,-1,\,1.$$

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in[-3;-1]\cup[1;+\infty).$$

2. б) $$\left(7-x\right)\left(4-x^2\right)\le 0$$

   Преобразуем:

   $$\left(7-x\right)\left(2-x\right)\left(2+x\right)\le 0$$

   или

   $$\left(x-7\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le 0.$$

   Нули: $$x=-2,\,2,\,7.$$

   По знакам на промежутках:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;7].$$

3. в) $$\left(15-5x\right)\left(x^2-4x+4\right)\ge 0$$

   Вынесем множители:

   $$\left(5x-15\right)\left(x-2\right)^2\le 0$$

   или

   $$5\left(x-3\right)\left(x-2\right)^2\le 0.$$

   Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0,$$ то неравенство выполняется при

   $$x\le 3,$$

   а точка $$x=2$$ входит в решение как нуль множителя.

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;3].$$

4. г) $$\left(x^2-5x+6\right)\left(x-3\right)\le 0$$

   Разложим квадратный трёхчлен:

   $$x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right).$$

   Тогда

   $$\left(x-2\right)\left(x-3\right)^2\le 0.$$

   Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0,$$ то неравенство выполняется при

   $$x\le 2,$$

   а также при $$x=3.$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;2]\cup\{3\}.$$

Ответ

а) $$x\in[-3;-1]\cup[1;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-2]\cup[2;7]$$; в) $$x\in(-\infty;3]$$; г) $$x\in(-\infty;2]\cup\{3\}$$.