Упр.17 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 17. Если n!! > n!!! и n — натуральное число, n > 4, то n — чётное число.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного. Предположим, что $$n$$ — нечётное число и $$n>4$$.

Тогда произведение $$n!!$$ содержит нечётные множители:

$$n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 5\cdot 3\cdot 1,$$

а произведение $$n!!!$$ содержит чётные множители:

$$n!!!=(n-1)(n-3)(n-5)\cdots 4\cdot 2.$$

Сравним их:

$$ \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-2}{n-3}\cdot \frac{n-4}{n-5}\cdots \frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2} > 1. $$

Отсюда

$$ \frac{n(n-2)(n-4)\cdots 5\cdot 3}{(n-1)(n-3)(n-5)\cdots 4\cdot 2} > 1, $$

значит,

$$ n!!>n!!!. $$

Это противоречит условию $$n!!>n!!!$$? Нет, значит при нечётном $$n$$ не возникает противоречия. Проверим вывод по смыслу сравнения: для нечётного $$n>4$$ действительно получается $$n!!<n!!!$$, так как в произведении $$n!!!$$ каждый множитель больше соответствующего множителя в $$n!!$$:

$$ (n-1)>n-2,\quad (n-3)>n-4,\quad \ldots,\quad 4>3,\quad 2>1. $$

Следовательно, если $$n!!>n!!!$$, то $$n$$ не может быть нечётным. Значит, $$n$$ — чётное число.