Упр.158 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Является ли какое-нибудь из чисел: $$-1, 1, 0, 2$$ системой неравенств:
   а) $$\begin{cases}(x-3)^2>0\\(x-2)(x-5)<0\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}(x+4)(x-4)>0\\(x+5)^2>0\end{cases}$$
   в) $$\begin{cases}x^2-3x+5>0\\\frac{1}{x-4}<2\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}\frac{x+4}{x}>5\\x^2-6x-8<0\end{cases}$$

1. а)

   $$(x-3)^2>0$$
   выполняется при всех $$x\neq 3$$, а
   $$(x-2)(x-5)<0$$
   при
   $$2<x<5.$$
   Тогда
   $$x\in(2;3)\cup(3;5).$$
   Ни одно из чисел $$-1,\,0,\,1,\,2$$ не подходит.

2. б)

   $$(x+4)(x-4)>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty),$$
   $$(x+5)^2>0 \Rightarrow x\neq -5.$$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(4;+\infty).$$
   Ни одно из чисел $$-1,\,0,\,1,\,2$$ не подходит.

3. в)

   $$x^2-3x+5>0.$$
   Дискриминант:
   $$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0.$$
   Так как старший коэффициент положителен, то
   $$x^2-3x+5>0$$
   при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

   Второе неравенство:
   $$\frac{1}{x-4}<2$$
   $$\frac{1-2(x-4)}{x-4}<0$$
   $$\frac{9-2x}{x-4}<0$$
   $$\frac{2x-9}{x-4}>0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;4)\cup\left(\frac{9}{2};+\infty\right).$$
   Пересечение с первым неравенством даёт то же множество.
   Число $$1$$ подходит.

4. г)

   $$\frac{x+4}{x}>5$$
   $$\frac{x+4-5x}{x}>0$$
   $$\frac{4-4x}{x}>0$$
   $$\frac{1-x}{x}>0$$
   $$0<x<1.$$

   Второе неравенство:
   $$x^2-6x-8<0.$$
   Корни уравнения
   $$x^2-6x-8=0$$
   равны
   $$x=3\pm\sqrt{17}.$$
   Значит,
   $$x\in(3-\sqrt{17};\,3+\sqrt{17}).$$
   Пересечение:
   $$x\in(0;1).$$
   Число $$1$$ не подходит, а остальные данные числа тоже не являются решениями.

Ответ

а) нет; б) нет; в) да, $$1$$; г) нет.